Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por para todo maior ou igual a 1. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de algum número específico conforme cresce) ou diverge (não se aproxima de nenhum número). Se ela convergir, vamos encontrar qual é esse limite. Para resolver isso, vamos precisar entender propriedades de limites, comportamentos de funções trigonométricas e a ideia de que funções limitadas multiplicadas por termos que vão a zero também tendem a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo . A função seno sempre retorna valores entre -1 e 1, ou seja:
Isso significa que, independentemente do valor de , o seno desse valor nunca será menor que -1 nem maior que 1.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o numerador da nossa sequência, que é . Sabemos que está limitado entre -1 e 1, então multiplicando por , temos:
Isso nos dá uma ideia de como o numerador está se comportando conforme cresce.

Passo 4

Em seguida, consideramos o denominador . Conforme aumenta, também cresce sem limites, ou seja, tende para o infinito.

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo para a sequência completa:
Usando os limites que encontramos para o numerador, temos:
Ou seja:

Passo 6

Vamos simplificar . Para facilitar, notamos que conforme cresce, é aproximadamente , então:
E sabemos que tende a 0 quando vai para o infinito.

Passo 7

Dessa forma, tanto quanto tendem a 0 quando tende ao infinito. Pelo Teorema do Aperto ou Teorema do Squeeze, se uma sequência está presa entre duas outras sequências que tendem ao mesmo limite, então a sequência no meio também tende a esse limite.

Resposta

A sequência converge e o limite é 0.

Exercícios relacionados

Em cada item, dê exemplos de conjuntos satisfazendo a igualdade abaixo:
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Calcule a integral de superfície , onde e é a fronteira da região sólida limitada pelo parabolóide e pelo plano .
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa: