Seja H o hemisfério x^2+y^2+z^2=50, z >= 0, e suponha que f seja uma função contínua com f(3,4,5)=7, f(3,-4,5)=8, f(-3,4,5)=9 e f(-3,-4,5)=12. Dividindo H em quatro retalhos, estime o valor de integral duplah f(x, y, z) d S.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar a integral dupla de uma função contínua sobre a superfície de um hemisfério. O hemisfério é definido pela equação com . A função tem valores conhecidos em quatro pontos específicos sobre essa superfície. Para resolver, vamos dividir o hemisfério em quatro retalhos (ou seções) e estimar o valor da integral usando esses pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como dividir o hemisfério em quatro partes iguais. Como o hemisfério é simétrico em relação aos eixos e , podemos dividi-lo em quatro quadrantes:
  1. Quadrante onde e
  2. Quadrante onde e
  3. Quadrante onde e
  4. Quadrante onde e

Passo 3

Em cada um desses quadrantes, temos um ponto onde a função é conhecida:
Vamos usar esses valores como representações da função em cada retalho.

Passo 4

Para estimar a integral, podemos usar a regra do ponto médio para integrais duplas. Essa regra aproxima a integral multiplicando o valor da função no ponto médio de cada retalho pela área do retalho. Como cada retalho tem a mesma área, vamos calcular a área do hemisfério e dividi-la por quatro.

Passo 5

Primeiro, calculamos a área total do hemisfério. A fórmula para a área de uma esfera completa é A = 2pi r^2 . Como temos um hemisfério, a área será metade disso:
Sabemos que , então o raio .

Passo 6

Calculando a área do hemisfério:
A = 2pi (raiz50)^2 = 2pi times 50 = 100pi
Agora, dividimos essa área por quatro para obter a área de cada retalho:
Aretalho = 100pi4 = 25pi

Passo 7

Agora, aplicamos a regra do ponto médio. Multiplicamos o valor da função em cada ponto pelo valor da área do retalho e somamos todos os resultados:
integral duplaH f(x, y, z) , dS approx f(3,4,5) times 25pi + f(3,-4,5) times 25pi + f(-3,4,5) times 25pi + f(-3,-4,5) times 25pi
Substituindo os valores de integral duplaH f(x, y, z) , dS approx 7 times 25pi + 8 times 25pi + 9 times 25pi + 12 times 25pi :

Passo 8

Vamos calcular cada termo:
7 times 25pi = 175pi
8 times 25pi = 200pi
9 times 25pi = 225pi
12 times 25pi = 300pi
Somando todos:
175pi + 200pi + 225pi + 300pi = 900pi

Resposta

A estimativa do valor da integral é .

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