Seja
o hemisfério
, e suponha que
seja uma função contínua
,
e
. Dividindo
em quatro retalhos, estime o valor de
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar a integral dupla de uma função contínua sobre a superfície de um hemisfério. O hemisfério
é definido pela equação
com
. A função
tem valores conhecidos em quatro pontos específicos sobre essa superfície. Para resolver, vamos dividir o hemisfério em quatro retalhos (ou seções) e estimar o valor da integral usando esses pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como dividir o hemisfério em quatro partes iguais. Como o hemisfério é simétrico em relação aos eixos
e
, podemos dividi-lo em quatro quadrantes:
- Quadrante onde
e - Quadrante onde
e - Quadrante onde
e - Quadrante onde
e
Passo 3
Em cada um desses quadrantes, temos um ponto onde a função
é conhecida:
Vamos usar esses valores como representações da função em cada retalho.
Passo 4
Para estimar a integral, podemos usar a regra do ponto médio para integrais duplas. Essa regra aproxima a integral multiplicando o valor da função no ponto médio de cada retalho pela área do retalho. Como cada retalho tem a mesma área, vamos calcular a área do hemisfério e dividi-la por quatro.
Passo 5
Primeiro, calculamos a área total do hemisfério. A fórmula para a área de uma esfera completa é
. Como temos um hemisfério, a área será metade disso:
Sabemos que
, então o raio
.
Passo 6
Calculando a área do hemisfério:
Agora, dividimos essa área por quatro para obter a área de cada retalho:
Passo 7
Agora, aplicamos a regra do ponto médio. Multiplicamos o valor da função em cada ponto pelo valor da área do retalho e somamos todos os resultados:
Substituindo os valores de
:
Passo 8
Vamos calcular cada termo:
Somando todos:
Resposta
A estimativa do valor da integral é
.