Seja o hemisfério , e suponha que seja uma função contínua , e . Dividindo em quatro retalhos, estime o valor de .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve encontrar a integral dupla de uma função contínua sobre a superfície de um hemisfério. O hemisfério é definido pela equação com . A função tem valores conhecidos em quatro pontos específicos sobre essa superfície. Para resolver, vamos dividir o hemisfério em quatro retalhos (ou seções) e estimar o valor da integral usando esses pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como dividir o hemisfério em quatro partes iguais. Como o hemisfério é simétrico em relação aos eixos e , podemos dividi-lo em quatro quadrantes:
  1. Quadrante onde e
  2. Quadrante onde e
  3. Quadrante onde e
  4. Quadrante onde e

Passo 3

Em cada um desses quadrantes, temos um ponto onde a função é conhecida:
Vamos usar esses valores como representações da função em cada retalho.

Passo 4

Para estimar a integral, podemos usar a regra do ponto médio para integrais duplas. Essa regra aproxima a integral multiplicando o valor da função no ponto médio de cada retalho pela área do retalho. Como cada retalho tem a mesma área, vamos calcular a área do hemisfério e dividi-la por quatro.

Passo 5

Primeiro, calculamos a área total do hemisfério. A fórmula para a área de uma esfera completa é . Como temos um hemisfério, a área será metade disso:
Sabemos que , então o raio .

Passo 6

Calculando a área do hemisfério:
Agora, dividimos essa área por quatro para obter a área de cada retalho:

Passo 7

Agora, aplicamos a regra do ponto médio. Multiplicamos o valor da função em cada ponto pelo valor da área do retalho e somamos todos os resultados:
Substituindo os valores de :

Passo 8

Vamos calcular cada termo:
Somando todos:

Resposta

A estimativa do valor da integral é .

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Calcule a integral de superfície
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