Calcule a integral de superfície.
c) integral duplaS x^2 z^2 d S, S é a parte do cone z^2=x^2+y^2 que está entre os planos z=1 e z=3 cdot 364 raiz23 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral de superfície do tipo ∬ x²z² dS. A superfície S é a parte do cone definido por z² = x² + y², e está entre os planos z = 1 e z = 364√2 π. Vamos usar cálculo multivariável, especificamente integração sobre superfícies curvas como cones. Para resolver, vamos precisar parametrizar o cone e calcular o elemento de área dS.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cone z² = x² + y². Podemos usar coordenadas cilíndricas, pois a simetria do cone facilita. Em coordenadas cilíndricas, temos:
  • x = r cosθ
  • y = r sinθ
  • z = r
Aqui, r é a distância do ponto à origem no plano xy, e θ é o ângulo em relação ao eixo x.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o elemento de área dS no cone. Para isso, usamos a fórmula para superfícies parametrizadas:
dS = |r_u × r_v| du dv
No nosso caso, as variáveis são r e θ. Calculando as derivadas parciais:
r_r = (cosθ, sinθ, 1)
r_θ = (-r sinθ, r cosθ, 0)
O produto vetorial r_r × r_θ resulta em:
|r_r × r_θ| = √( ( -cosθ )² + ( -sinθ )² + ( r )² ) = √(1 + r²)
Então, dS = √(1 + r²) dr dθ

Passo 4

Agora, substituímos x, z e dS na integral original:
∬ x²z² dS = ∫θ=0^{2π} ∫r=1^{364√2 π} (r² cos²θ) (r²) √(1 + r²) dr dθ
Simplificando, temos:
∫0^{2π} cos²θ dθ * ∫1^{364√2 π} r⁴ √(1 + r²) dr

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a parte de θ:
∫0^{2π} cos²θ dθ = π
Isso porque a integral de cos²θ de 0 a 2π é igual a π.

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte de r:
∫1^{364√2 π} r⁴ √(1 + r²) dr
Fazendo uma substituição u = 1 + r², então du = 2r dr. Ajustando a integral:
(1/2) ∫u=2^{(1 + (364√2 π)²)} (u - 1)² √u du
Essa integral pode ser resolvida por expansão e integração termo a termo ou usando métodos avançados de integração.

Passo 7

Após calcular a integral em r, multiplicamos pelo resultado da integral em θ:
π * [resultado da integral em r]
Isso nos dará o valor final da integral de superfície.

Resposta

A integral de superfície ∬ x²z² dS sobre o cone entre z = 1 e z = 364√2 π é igual a π multiplicado pelo resultado da integral em r, ou seja:
Integral = π × ∫₁^{364√2 π} r⁴√(1 + r²) dr

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