Calcule a integral de superfície.
c)
,
é a parte do cone
que está entre os planos
e
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral de superfície do tipo ∬ x²z² dS. A superfície S é a parte do cone definido por z² = x² + y², e está entre os planos z = 1 e z = 364√2 π. Vamos usar cálculo multivariável, especificamente integração sobre superfícies curvas como cones. Para resolver, vamos precisar parametrizar o cone e calcular o elemento de área dS.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o cone z² = x² + y². Podemos usar coordenadas cilíndricas, pois a simetria do cone facilita. Em coordenadas cilíndricas, temos:
- x = r cosθ
- y = r sinθ
- z = r
Aqui, r é a distância do ponto à origem no plano xy, e θ é o ângulo em relação ao eixo x.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o elemento de área dS no cone. Para isso, usamos a fórmula para superfícies parametrizadas:
dS = |r_u × r_v| du dv
No nosso caso, as variáveis são r e θ. Calculando as derivadas parciais:
r_r = (cosθ, sinθ, 1)
r_θ = (-r sinθ, r cosθ, 0)
O produto vetorial r_r × r_θ resulta em:
|r_r × r_θ| = √( ( -cosθ )² + ( -sinθ )² + ( r )² ) = √(1 + r²)
Então, dS = √(1 + r²) dr dθ
Passo 4
Agora, substituímos x, z e dS na integral original:
∬ x²z² dS = ∫θ=0^{2π} ∫r=1^{364√2 π} (r² cos²θ) (r²) √(1 + r²) dr dθ
Simplificando, temos:
∫0^{2π} cos²θ dθ * ∫1^{364√2 π} r⁴ √(1 + r²) dr
Passo 5
Primeiro, vamos resolver a parte de θ:
∫0^{2π} cos²θ dθ = π
Isso porque a integral de cos²θ de 0 a 2π é igual a π.
Passo 6
Agora, vamos resolver a parte de r:
∫1^{364√2 π} r⁴ √(1 + r²) dr
Fazendo uma substituição u = 1 + r², então du = 2r dr. Ajustando a integral:
(1/2) ∫u=2^{(1 + (364√2 π)²)} (u - 1)² √u du
Essa integral pode ser resolvida por expansão e integração termo a termo ou usando métodos avançados de integração.
Passo 7
Após calcular a integral em r, multiplicamos pelo resultado da integral em θ:
π * [resultado da integral em r]
Isso nos dará o valor final da integral de superfície.
Resposta
A integral de superfície ∬ x²z² dS sobre o cone entre z = 1 e z = 364√2 π é igual a π multiplicado pelo resultado da integral em r, ou seja:
Integral = π × ∫₁^{364√2 π} r⁴√(1 + r²) dr
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