Resolva as equações: y'' - 7y' + 12y = -e^(4x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a parte não homogênea. Vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, as raízes são:
Como temos raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Observando o lado direito , a gente tenta uma solução da forma:
onde é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo , e na equação original:
Ops! Isso significa que a nossa suposição inicial para está na solução da homogênea, então precisamos multiplicar por para ajustar. Assim, tentamos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r. Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
a) F(x, y, z)=(x+y^2) i+(y+z^2) j+(z+x^2) k, C é o triângulo com vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1) 1.
Calcule:
e) arcsen(sen 2)
Resolva as equações: y'' - 3y' + 2y = e^t + e^(2t)
Calcule a integral de superfície.
c) integral duplaS x^2 z^2 d S, S é a parte do cone z^2=x^2+y^2 que está entre os planos z=1 e z=3 cdot 364 raiz23 pi.