Resolva as equações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a parte não homogênea. Vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, as raízes são:
Como temos raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Observando o lado direito
, a gente tenta uma solução da forma:
onde
é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo
,
e
na equação original:
Ops! Isso significa que a nossa suposição inicial para
está na solução da homogênea, então precisamos multiplicar por
para ajustar. Assim, tentamos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Stokes para calcular
. Em cada caso,
é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
a) é o triângulo com vértices
.
a)
Calcule:
e)
e)
Resolva as equações:
Calcule a integral de superfície.
c) ,
é a parte do cone
que está entre os planos
e
.
c)