Resolva as equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação faz parte do estudo de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente, que é
. Para isso, encontramos a equação característica associada:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica
. Podemos fatorar:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que determinamos com condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa
. Para isso, usamos o método dos coeficientes a determinar.
Passo 6
Observamos que o lado direito da equação é a soma de
e
. Geralmente, assumimos soluções particulares da forma
. Porém, como
e
são soluções da equação homogênea, precisamos multiplicar por
para obter soluções independentes.
Então, nossa solução particular proposta será:
Passo 7
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 8
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 9
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 10
Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva as equações:
Use o Teorema de Stokes para calcular
. Em cada caso,
é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
a) é o triângulo com vértices
.
a)
Calcule a integral de superfície.
c) ,
é a parte do cone
que está entre os planos
e
.
c)
Use o Teorema de Stokes para calcular
.
é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices
, com orientação para fora.