Resolva as equações: y'' - 3y' + 2y = e^t + e^(2t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação faz parte do estudo de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente, que é . Para isso, encontramos a equação característica associada:

Passo 3

Vamos resolver a equação característica . Podemos fatorar:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que determinamos com condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa . Para isso, usamos o método dos coeficientes a determinar.

Passo 6

Observamos que o lado direito da equação é a soma de e . Geralmente, assumimos soluções particulares da forma . Porém, como e são soluções da equação homogênea, precisamos multiplicar por para obter soluções independentes.
Então, nossa solução particular proposta será:

Passo 7

Agora, vamos calcular as derivadas de :

Passo 8

Substituímos , e na equação original:
Simplificando:

Passo 9

Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 10

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para :
Para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Resolva as equações: y'' - 7y' + 12y = -e^(4x)
Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r. Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
a) F(x, y, z)=(x+y^2) i+(y+z^2) j+(z+x^2) k, C é o triângulo com vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1) 1.
Calcule a integral de superfície.
c) integral duplaS x^2 z^2 d S, S é a parte do cone z^2=x^2+y^2 que está entre os planos z=1 e z=3 cdot 364 raiz23 pi.
Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F cdot d S. F(x, y, z)=(x y z, x y, x^2 y z), S é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices ( pm 1, pm 1, pm 1), com orientação para fora.