Resolva as equações de Euler para
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Euler que é assim:
Esse tipo de equação aparece quando temos coeficientes que são potências de
. Para resolver, vamos usar uma substituição que transforma essa equação em uma equação com coeficientes constantes, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição
. Isso significa que
e, portanto, quando derivamos em relação a
, precisamos usar a regra da cadeia.
Vamos calcular as derivadas:
-
A primeira derivada de
em relação a : -
A segunda derivada de
em relação a :
Passo 3
Substituindo essas derivadas na equação original:
Simplificando:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
Para resolver, encontramos as raízes da equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 5
Com raízes complexas da forma
, a solução geral é:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 6
Lembrando que fizemos a substituição
, então substituímos de volta:
Sabendo que
, temos:
Resposta
A solução geral da equação de Euler dada é:
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Stokes para calcular
.
é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices
, com orientação para fora.
Calcule a integral de superfície.
c) ,
é a parte do cone
que está entre os planos
e
.
c)
Supondo que
e
satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que
mostre que
Resolva o problema de valor inicial
para
.