Resolva as equações de Euler para x > 0 :
x^2 d^2y/dx^2 + 3x dy/dx + 3y = 0
R: y = (1/x) [c1 cos(raiz(2) ln(x)) + c2 sen(raiz(2) ln(x))]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Euler que é assim:
Esse tipo de equação aparece quando temos coeficientes que são potências de . Para resolver, vamos usar uma substituição que transforma essa equação em uma equação com coeficientes constantes, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição . Isso significa que e, portanto, quando derivamos em relação a , precisamos usar a regra da cadeia.
Vamos calcular as derivadas:
  • A primeira derivada de em relação a :
  • A segunda derivada de em relação a :

Passo 3

Substituindo essas derivadas na equação original:
Simplificando:

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
Para resolver, encontramos as raízes da equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 5

Com raízes complexas da forma , a solução geral é:
No nosso caso, e , então:

Passo 6

Lembrando que fizemos a substituição , então substituímos de volta:
Sabendo que , temos:

Resposta

A solução geral da equação de Euler dada é:

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Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F cdot d S. F(x, y, z)=(x y z, x y, x^2 y z), S é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices ( pm 1, pm 1, pm 1), com orientação para fora.
Calcule a integral de superfície.
c) integral duplaS x^2 z^2 d S, S é a parte do cone z^2=x^2+y^2 que está entre os planos z=1 e z=3 cdot 364 raiz23 pi.
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V(E)=13 integral duplaS F cdot d S
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R: y = x^2 + 3 x^2 ln(x)