Calcule a integral de superfície
sendo e é a porção do cone abaixo do plano .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície dada por
onde e é a parte do cone que está abaixo do plano . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como parametrização de superfícies e integração em coordenadas polares, pra resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . O cone pode ser reescrito como em coordenadas cilíndricas, onde . A parte do cone abaixo do plano significa que varia de a , então também varia de a .

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto na superfície pode ser representado por . Para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar o elemento de área . Para um cone, a área pode ser calculada usando:
Mas, no caso do cone , as derivadas são simples:
Então, o elemento de área fica:

Passo 4

Agora, vamos expressar a função em coordenadas cilíndricas. Como e no cone , temos:

Passo 5

Com tudo isso, nossa integral de superfície fica:
Simplificando os termos:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 7

Integrando em relação a :
Portanto, a integral total é:

Resposta

O valor da integral de superfície é .

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