Calcule a integral de superfície
integral duplaS f(x, y, z) d S
sendo f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2 e S é a porção do cone z=raizx^2+y^2 abaixo do plano z=1.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície dada por
integral duplaS f(x, y, z) , dS
onde f(x, y, z) = raizx^2 + y^2 + z^2 e S é a parte do cone z = raizx^2 + y^2 que está abaixo do plano z = 1. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como parametrização de superfícies e integração em coordenadas polares, pra resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. O cone z = raizx^2 + y^2 pode ser reescrito como z = r em coordenadas cilíndricas, onde r = raizx^2 + y^2. A parte do cone abaixo do plano z = 1 significa que z varia de 0 a 1, então r também varia de 0 a 1.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto na superfície pode ser representado por (r costheta, r sintheta, r). Para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar o elemento de área dS. Para um cone, a área pode ser calculada usando:
dS = raiz ( partial zpartial r )^2 + ( partial zpartial theta )^2 + 1 , r , dr , dtheta
Mas, no caso do cone z = r, as derivadas são simples:
partial zpartial r = 1 e partial zpartial theta = 0
Então, o elemento de área fica:
dS = raiz1^2 + 0^2 + 1 , r , dr , dtheta = raiz2 , r , dr , dtheta

Passo 4

Agora, vamos expressar a função f(x, y, z) em coordenadas cilíndricas. Como f(x, y, z) = raizx^2 + y^2 + z^2 e no cone z = r, temos:
f(r, theta) = raizr^2 + r^2 = raiz2 , r

Passo 5

Com tudo isso, nossa integral de superfície fica:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = integral0^2pi integral0^1 raiz2 , r cdot raiz2 , r , dr , dtheta
Simplificando os termos:
= 2 integral0^2pi integral0^1 r^2 , dr , dtheta

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a r primeiro:
integral0^1 r^2 , dr = [ r^33 ]0^1 = 13
Então, a integral fica:
2 integral0^2pi 13 , dtheta = 23 integral0^2pi dtheta

Passo 7

Integrando em relação a theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Portanto, a integral total é:
23 cdot 2pi = 4pi3

Resposta

O valor da integral de superfície é dfrac4pi3.

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