Calcule a integral de superfície
sendo
e
é a porção do cone
abaixo do plano
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície dada por
onde
e
é a parte do cone
que está abaixo do plano
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como parametrização de superfícies e integração em coordenadas polares, pra resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. O cone
pode ser reescrito como
em coordenadas cilíndricas, onde
. A parte do cone abaixo do plano
significa que
varia de
a
, então
também varia de
a
.
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto na superfície pode ser representado por
. Para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar o elemento de área
. Para um cone, a área pode ser calculada usando:
Mas, no caso do cone
, as derivadas são simples:
Então, o elemento de área fica:
Passo 4
Agora, vamos expressar a função
em coordenadas cilíndricas. Como
e no cone
, temos:
Passo 5
Com tudo isso, nossa integral de superfície fica:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 7
Integrando em relação a
:
Portanto, a integral total é:
Resposta
O valor da integral de superfície é
.
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