Calcule os seguintes limites: lim (x, y) (0,0) raizx+3-raizxx y+x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função com duas variáveis, especificamente:
lim (x, y) (0,0) raizx+3-raizxx y +x
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, precisamos entender como o numerador e o denominador se comportam quando e se aproximam de 0. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador: raizx+3 approx raiz3 quando x 0 . Quando raizx+3 - raizx approx raiz3 - 0 = raiz3 está perto de 0, também está perto de 0, então está próximo de . Ou seja:
Então, a diferença fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador: x y + x = x (y + 1) . Podemos fatorar x (y + 1) approx 0 times 1 = 0 :
Quando , tanto quanto estão indo para 0. Então, o denominador se aproxima de:

Passo 4

Agora, juntando as duas análises:
raizx+3-raizxx y +x approx raiz30
Dividir um número finito por algo que está se aproximando de 0 geralmente resulta em infinito. Mas precisamos verificar o sinal.

Passo 5

Vamos ver o sinal do denominador :
  • Se for positivo e for positivo (já que , ), então o denominador é positivo.
  • Se for negativo, o denominador seria negativo, mas como está definido para , e estamos aproximando de 0, consideramos positivo.
Então, o denominador está se aproximando de zero por valores positivos, e o numerador é positivo ( ).

Passo 6

Portanto, o limite fica:
raiz30^+ = +infty

Resposta

O limite é .

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