Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função com duas variáveis, especificamente:
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, precisamos entender como o numerador e o denominador se comportam quando
e
se aproximam de 0. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador:
. Quando
está perto de 0,
também está perto de 0, então
está próximo de
. Ou seja:
Então, a diferença fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador:
. Podemos fatorar
:
Quando
, tanto
quanto
estão indo para 0. Então, o denominador se aproxima de:
Passo 4
Agora, juntando as duas análises:
Dividir um número finito por algo que está se aproximando de 0 geralmente resulta em infinito. Mas precisamos verificar o sinal.
Passo 5
Vamos ver o sinal do denominador
:
- Se
for positivo e for positivo (já que , ), então o denominador é positivo. - Se
for negativo, o denominador seria negativo, mas como está definido para , e estamos aproximando de 0, consideramos positivo.
Então, o denominador está se aproximando de zero por valores positivos, e o numerador é positivo (
).
Passo 6
Portanto, o limite fica:
Resposta
O limite é
.