Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função com duas variáveis, especificamente:
Aqui, estamos lidando com **limites de funções de duas variáveis**. Para resolver, precisamos entender como o numerador e o denominador se comportam quando e se aproximam de 0. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador: . Quando está perto de 0, também está perto de 0, então está próximo de . Ou seja:
Então, a diferença fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador: . Podemos fatorar :
Quando , tanto quanto estão indo para 0. Então, o denominador se aproxima de:
Passo 4
Agora, juntando as duas análises:
Dividir um número finito por algo que está se aproximando de 0 geralmente resulta em **infinito**. Mas precisamos verificar o sinal.
Passo 5
Vamos ver o sinal do denominador :
- Se for positivo e for positivo (já que , ), então o denominador é positivo.
- Se for negativo, o denominador seria negativo, mas como está definido para , e estamos aproximando de 0, consideramos positivo.
Então, o denominador está se aproximando de zero por valores positivos, e o numerador é positivo ( ).
Passo 6
Portanto, o limite fica:
Resposta
O limite é .
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sendo e é a porção do cone abaixo do plano .
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