Verificar se as seguintes limites existem lim x infty 5 y-x2 x-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se o limite lim x infty 5 y - x2 x - y existe. Isso tá ligado ao tema de Cálculo de Limites, mais especificamente de limites ao infinito. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como lidar com expressões que envolvem frações e termos de maior grau quando tende para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão do limite:
5y - x2x - y
Quando tende para o infinito, os termos com geralmente dominam os termos constantes ou de menor grau. Vamos identificar quais são os termos que mais influenciam o comportamento da fração conforme cresce.

Passo 3

Observando o numerador e o denominador:
  • No numerador: temos . O termo cresce sem limites negativos à medida que aumenta.
  • No denominador: temos . Aqui, o termo cresce sem limites positivos à medida que aumenta.
Como os termos com são de primeiro grau e os demais são constantes, eles vão dominar o comportamento da fração.

Passo 4

Agora, para simplificar a análise, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador pelo termo de maior grau presente, que é 5y - x2x - y = 5yx - 12 - yx :

Passo 5

Agora, vamos avaliar o limite de cada termo separado enquanto 0 - 12 - 0 = -12 tende para o infinito:
  • tende a 0, já que está no denominador e vai para infinito.
  • também tende a 0 pelo mesmo motivo.
Então, substituindo esses resultados na expressão simplificada:

Resposta

O limite existe e é igual a .

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