Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente a técnica de frações parciais para integrar funções racionais. Vamos precisar decompor essa fração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador
. Podemos fatorar isso para facilitar nosso trabalho:
Então, o denominador fatorado fica
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a fração
como uma soma de frações mais simples. Isso é o que chamamos de decomposição em frações parciais. Vamos supor que:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, vamos escolher valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora que temos
,
e
, podemos reescrever a integral:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Resposta
A integral resolvida é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
Calcule a integral de superfície
sendo
e
é a porção do cone
abaixo do plano
.
Calcule
, onde
é o triângulo de vértices
e
, com orientação anti horária olhando do primeiro octante para a origem.
Calcule os limites a seguir:
(j) onde,
.
(j)