Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente a técnica de frações parciais para integrar funções racionais. Vamos precisar decompor essa fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador . Podemos fatorar isso para facilitar nosso trabalho:
Então, o denominador fatorado fica .

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração como uma soma de frações mais simples. Isso é o que chamamos de decomposição em frações parciais. Vamos supor que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos escolher valores de que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora que temos , e , podemos reescrever a integral:
Vamos integrar cada termo separadamente:

Resposta

A integral resolvida é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites:
Calcule a integral de superfície
sendo e é a porção do cone abaixo do plano .
Calcule , onde é o triângulo de vértices e , com orientação anti horária olhando do primeiro octante para a origem.
Calcule os limites a seguir:
(j) onde, .