integral 5 x^2-10 x-8x^3-4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente a técnica de frações parciais para integrar funções racionais. Vamos precisar decompor essa fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2) . Podemos fatorar isso para facilitar nosso trabalho:
Então, o denominador fatorado fica .

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração 5x^2 - 10x - 8x(x - 2)(x + 2) = Ax + Bx - 2 + Cx + 2 como uma soma de frações mais simples. Isso é o que chamamos de decomposição em frações parciais. Vamos supor que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar 5x^2 - 10x - 8 = A(x - 2)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x - 2) , 5(0)^2 - 10(0) - 8 = A(-2)(2) Rightarrow -8 = -4A Rightarrow A = 2 e 5(2)^2 - 10(2) - 8 = B(2)(4) Rightarrow 20 - 20 - 8 = 8B Rightarrow -8 = 8B Rightarrow B = -1 , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum 5(-2)^2 - 10(-2) - 8 = C(-2)(-4) Rightarrow 20 + 20 - 8 = 8C Rightarrow 32 = 8C Rightarrow C = 4 :
Agora, vamos escolher valores de que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora que temos integral ( 2x + -1x - 2 + 4x + 2 ) dx , integral 2x , dx = 2 ln|x| e integral -1x - 2 , dx = -ln|x - 2| , podemos reescrever a integral:
integral 4x + 2 , dx = 4 ln|x + 2|
Vamos integrar cada termo separadamente:

Resposta

A integral resolvida é:
2 ln|x| - ln|x - 2| + 4 ln|x + 2| + C
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados