Calcule a integral.
integral e^-theta cos (2 theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma fórmula que integra o produto de uma função exponencial com uma função trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula importante que nos ajuda a integrar expressões do tipo integral e^atheta cos(btheta) , dtheta = e^atheta (a cos(btheta) + b sin(btheta))a^2 + b^2 + C . A fórmula é:
Onde é a constante de integração.

Passo 3

No nosso caso, temos integral e^-theta cos(2theta) , dtheta = e^-theta (-1 cdot cos(2theta) + 2 cdot sin(2theta))(-1)^2 + 2^2 + C e . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador e a expressão no numerador:
(-1)^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5
Então, a integral fica:
e^-theta (-cos(2theta) + 2sin(2theta))5 + C

Resposta

A integral de integral e^-theta cos(2theta) , dtheta = e^-theta ( -cos(2theta) + 2sin(2theta) )5 + C é:

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