Calcule as seguintes integrais:
integral raizx+16x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve uma raiz quadrada e uma fração. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais mais complicadas transformando-as em formas mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos chamar . Isso significa que .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 12(x + 16)^-1/2 cdot 1 = 12raizx + 16 em relação a para substituir o na integral. Derivando ambos os lados, temos:
Então, , o que nos dá .

Passo 4

Agora, vamos substituir integral raizx+16x , dx = integral ux cdot 2u , du = 2 integral u^2x , du e na integral original:
Mas precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então elevando ao quadrado, , o que dá .

Passo 5

Substituindo 2 integral u^2u^2 - 16 , du na integral, temos:
u^2u^2 - 16 = 1 + 16u^2 - 16
Agora, essa fração pode ser simplificada. Vamos dividir 2 integral (1 + 16u^2 - 16) , du = 2 integral 1 , du + 2 integral 16u^2 - 16 , du por :
Então, a integral se torna:

Passo 6

Vamos resolver cada parte separadamente. A primeira integral é simples:
2 integral 1 , du = 2u
Para a segunda integral, 2 integral 16u^2 - 16 , du = 32 cdot 18 ln|u - 4u + 4| = 4 ln|u - 4u + 4| , reconhecemos uma integral que se assemelha à forma , cuja antiderivada é . Aqui, , então temos:

Passo 7

Agora, juntando as duas partes, a integral completa fica:
2u + 4 ln|u - 4u + 4| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Por fim, vamos retornar à variável original 2raizx + 16 + 4 ln|raizx + 16 - 4raizx + 16 + 4| + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral 2raizx + 16 + 4 ln|raizx + 16 - 4raizx + 16 + 4| + C é igual a:

Exercícios relacionados

Calcule a derivada das seguintes funções.
g(x)=integral1^x 1t^beta+1 d t
Calcule a integral.
integral0^1 1cos x d x
Calcule a integral.
integral e^-theta cos (2 theta) d theta
Calcule:
integral-pi^pi cos (4 x) sen(3 x) d x