Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve uma raiz quadrada e uma fração. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais mais complicadas transformando-as em formas mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos chamar . Isso significa que .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir o na integral. Derivando ambos os lados, temos:
Então, , o que nos dá .
Passo 4
Agora, vamos substituir e na integral original:
Mas precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então elevando ao quadrado, , o que dá .
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Agora, essa fração pode ser simplificada. Vamos dividir por :
Então, a integral se torna:
Passo 6
Vamos resolver cada parte separadamente. A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, , reconhecemos uma integral que se assemelha à forma , cuja antiderivada é . Aqui, , então temos:
Passo 7
Agora, juntando as duas partes, a integral completa fica:
2u + 4 ln|u - 4u + 4| + C
Onde é a constante de integração.
Passo 8
Por fim, vamos retornar à variável original 2raizx + 16 + 4 ln|raizx + 16 - 4raizx + 16 + 4| + C . Lembrando que , substituímos de volta:
Resposta
A integral 2raizx + 16 + 4 ln|raizx + 16 - 4raizx + 16 + 4| + C é igual a: