Calcule a integral tripla onde é o tetraedro com faces sobre os planos coordenados e o sobre o plano . (Resp. 1/12.)
Passo 1
Vamos resolver a integral tripla , onde é um tetraedro limitado pelos planos coordenados , , e pelo plano . Esse problema envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, e precisamos entender como determinar os limites de integração para a região .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. O tetraedro é limitado pelos planos , , e . Vamos expressar uma variável em termos das outras para facilitar os limites.
A partir do plano , podemos isolar :
Isso nos dá o limite superior para , enquanto o limite inferior é (pois ).
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para . Observando que , temos:
O limite inferior para é , então:
Passo 4
Por fim, vamos encontrar os limites para . Observando que , temos:
O limite inferior para é , portanto:
Passo 5
Agora que temos todos os limites de integração, podemos escrever a integral tripla: