Calcule a integral tripla integral triplaD x d V onde D é o tetraedro com faces sobre os planos coordenados x=0, y=0, z=0 e o sobre o plano x+y2+z=1. (Resp. 1/12.)

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla integral triplaD x , dV, onde D é um tetraedro limitado pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0 e pelo plano x+y2+z=1. Esse problema envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, e precisamos entender como determinar os limites de integração para a região D.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. O tetraedro D é limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e x+y2+z=1. Vamos expressar uma variável em termos das outras para facilitar os limites.
A partir do plano x+y2+z=1, podemos isolar z:
z = 1 - x - y2
Isso nos dá o limite superior para z, enquanto o limite inferior é 0 (pois z >= 0).

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para y. Observando que z >= 0, temos:
1 - x - y2 >= 0 implies y <= 2(1 - x)
O limite inferior para y é 0, então:
0 <= y <= 2(1 - x)

Passo 4

Por fim, vamos encontrar os limites para x. Observando que y >= 0, temos:
2(1 - x) >= 0 implies x <= 1
O limite inferior para x é 0, portanto:
0 <= x <= 1

Passo 5

Agora que temos todos os limites de integração, podemos escrever a integral tripla:
integral triplaD x , dV = integral0^1 integral0^2(1 - x) integral0^1 - x - y2 x , dz , dy , dx

Passo 6

Vamos integrar em relação a z primeiro:
integral0^1 - x - y2 x , dz = x [ z ]0^1 - x - y2 = x (1 - x - y2)

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
integral0^1 integral0^2(1 - x) x (1 - x - y2) , dy , dx
Vamos distribuir x dentro do parêntese:
x(1 - x) - xy2
Então a integral fica:
integral0^1 integral0^2(1 - x) (x(1 - x) - xy2) , dy , dx

Passo 8

Integramos em relação a y:
integral0^2(1 - x) x(1 - x) , dy - integral0^2(1 - x) xy2 , dy
Calculando cada integral:
x(1 - x) cdot y g|0^2(1 - x) = x(1 - x) cdot 2(1 - x) = 2x(1 - x)^2
x2 cdot y^22 g|0^2(1 - x) = x4 cdot [4(1 - x)^2] = x(1 - x)^2

Passo 9

Subtraindo as integrais:
2x(1 - x)^2 - x(1 - x)^2 = x(1 - x)^2
Agora a integral fica:
integral0^1 x(1 - x)^2 , dx

Passo 10

Vamos expandir (1 - x)^2:
(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2
Então:
x(1 - 2x + x^2) = x - 2x^2 + x^3
A integral torna-se:
integral0^1 (x - 2x^2 + x^3) , dx

Passo 11

Integramos termo a termo:
integral x , dx = x^22, integral 2x^2 , dx = 2x^33, integral x^3 , dx = x^44
Então:
[x^22 - 2x^33 + x^44]0^1

Passo 12

Substituímos os limites:
(12 - 23 + 14) - (0 - 0 + 0) = 12 - 23 + 14
Calculando:
612 - 812 + 312 = 112

Resposta

A integral tripla é igual a 112.

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