Calcule a integral tripla onde é o tetraedro com faces sobre os planos coordenados e o sobre o plano . (Resp. 1/12.)

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla , onde é um tetraedro limitado pelos planos coordenados , , e pelo plano . Esse problema envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, e precisamos entender como determinar os limites de integração para a região .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. O tetraedro é limitado pelos planos , , e . Vamos expressar uma variável em termos das outras para facilitar os limites.
A partir do plano , podemos isolar :
Isso nos dá o limite superior para , enquanto o limite inferior é (pois ).

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para . Observando que , temos:
O limite inferior para é , então:

Passo 4

Por fim, vamos encontrar os limites para . Observando que , temos:
O limite inferior para é , portanto:

Passo 5

Agora que temos todos os limites de integração, podemos escrever a integral tripla:

Passo 6

Vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
Vamos distribuir dentro do parêntese:
Então a integral fica:

Passo 8

Integramos em relação a :
Calculando cada integral:

Passo 9

Subtraindo as integrais:
Agora a integral fica:

Passo 10

Vamos expandir :
Então:
A integral torna-se:

Passo 11

Integramos termo a termo:
Então:

Passo 12

Substituímos os limites:
Calculando:

Resposta

A integral tripla é igual a .

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