Fazendo a mudança de variável , mostre que
(Esse é um resultado fundamental para probabilidade e estatística.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que aparece bastante em probabilidade e estatística. A gente vai usar uma mudança de variável para simplificar. Precisamos entender como trocar o x por t usando a fórmula .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a substituição que vamos fazer. Temos . Isso quer dizer que .
Passo 3
Agora, precisamos calcular o diferencial em termos de . Derivando ambos os lados de , temos:
Passo 4
Substituímos e na integral original:
Simplificando dentro do expoente:
Então a integral fica:
Passo 5
Podemos fatorar os termos constantes fora da integral:
Agora, observamos que a integral é conhecida e igual a .
Passo 6
No nosso caso, , então:
Passo 7
Voltando à nossa expressão anterior:
Resposta
Portanto,
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