Fazendo a mudança de variável t=raiz2 x, mostre que
integral-infty^infty e^-x^2 / 2 d x=raiz2 pi
(Esse é um resultado fundamental para probabilidade e estatística.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que aparece bastante em probabilidade e estatística. A gente vai usar uma mudança de variável para simplificar. Precisamos entender como trocar o x por t usando a fórmula .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a substituição que vamos fazer. Temos . Isso quer dizer que .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o diferencial dt = raiz2 , dx Rightarrow dx = dtraiz2 em termos de . Derivando ambos os lados de , temos:

Passo 4

Substituímos integral-infty^infty e^-x^2/2 dx = integral-infty^infty e^-(traiz2)^2 / 2 cdot dtraiz2 e (traiz2)^2 = t^22 na integral original:
integral-infty^infty e^-t^2/4 cdot dtraiz2
Simplificando dentro do expoente:
Então a integral fica:

Passo 5

Podemos fatorar os termos constantes fora da integral:
1raiz2 integral-infty^infty e^-t^2/4 dt
Agora, observamos que a integral é conhecida e igual a .

Passo 6

No nosso caso, integral-infty^infty e^-t^2/4 dt = raizpi1/4 = raiz4pi = 2raizpi , então:

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
1raiz2 cdot 2raizpi = raiz2 cdot raizpi = raiz2pi

Resposta

Portanto,
integral-infty^infty e^-x^2/2 dx = raiz2pi

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