Fazendo a mudança de variável
, mostre que
(Esse é um resultado fundamental para probabilidade e estatística.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que aparece bastante em probabilidade e estatística. A gente vai usar uma mudança de variável para simplificar. Precisamos entender como trocar o x por t usando a fórmula
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a substituição que vamos fazer. Temos
. Isso quer dizer que
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o diferencial
em termos de
. Derivando ambos os lados de
, temos:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Simplificando dentro do expoente:
Então a integral fica:
Passo 5
Podemos fatorar os termos constantes fora da integral:
Agora, observamos que a integral
é conhecida e igual a
.
Passo 6
No nosso caso,
, então:
Passo 7
Voltando à nossa expressão anterior:
Resposta
Portanto,