Fazendo a mudança de variável , mostre que (Esse é um resultado fundamental para probabilidade e estatística.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que aparece bastante em probabilidade e estatística. A gente vai usar uma mudança de variável para simplificar. Precisamos entender como trocar o x por t usando a fórmula .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a substituição que vamos fazer. Temos . Isso quer dizer que .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o diferencial em termos de . Derivando ambos os lados de , temos:

Passo 4

Substituímos e na integral original: Simplificando dentro do expoente: Então a integral fica:

Passo 5

Podemos fatorar os termos constantes fora da integral: Agora, observamos que a integral é conhecida e igual a .

Passo 6

No nosso caso, , então:

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:

Resposta

Portanto,

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