Calcule a integral tripla
, onde
é o tetraedro limitado pelos quatro planos
e
.
Passo 1
Vamos calcular a integral tripla
, onde
é o tetraedro delimitado pelos planos
,
,
e
. Para resolver esse exercício, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, e precisaremos determinar os limites de integração apropriados para as variáveis
,
e
dentro do tetraedro
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o tetraedro
. Os planos
,
e
são os planos coordenados que formam os eixos
,
e
. O plano
corta esses eixos formando uma face do tetraedro.
Para definir os limites de integração, vamos determinar até onde cada variável varia. Vamos integrar na ordem
,
,
.
Passo 3
Começamos fixando
entre 0 e 1, já que no plano
, quando
e
, temos
. Para cada valor de
,
varia de 0 até
, porque quando
,
. Para cada par
,
varia de 0 até
.
Portanto, os limites de integração são:
Passo 4
Agora, configuramos a integral tripla com os limites estabelecidos:
Vamos primeiro integrar em relação a
.
Passo 5
Integrando
de 0 a
:
Substituindo na integral, temos:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Para facilitar, fazemos a substituição
, então
. Quando
,
, e quando
,
.
A integral fica:
Então, a integral agora é:
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, quando
,
, e quando
,
:
Resposta
O valor da integral tripla
é
.
Exercícios relacionados
Verifique se os campos são ou não conservatórios; em caso afirmativo determine uma função potencial
.
Verifique se os campos são ou não conservatórios; em caso afirmativo determine uma função potencial
.
Ache o volume do sólido no primeiro octante, limitado pelo cilindro
, pelo plano
e pelos três planos coordenados.
Calcule a integral tripla
, onde
é a região limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
, acima do plano
.