Calcule a integral tripla integral triplaE z d V, onde E é o tetraedro limitado pelos quatro planos x=0, y=0, z=0 e x+y+z=1.

Passo 1

Vamos calcular a integral tripla integral triplaE z , dV, onde E é o tetraedro delimitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e x + y + z = 1. Para resolver esse exercício, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, e precisaremos determinar os limites de integração apropriados para as variáveis x, y e z dentro do tetraedro E.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o tetraedro E. Os planos x=0, y=0 e z=0 são os planos coordenados que formam os eixos x, y e z. O plano x + y + z = 1 corta esses eixos formando uma face do tetraedro.
Para definir os limites de integração, vamos determinar até onde cada variável varia. Vamos integrar na ordem dz, dy, dx.

Passo 3

Começamos fixando x entre 0 e 1, já que no plano x + y + z = 1, quando y=0 e z=0, temos x=1. Para cada valor de x, y varia de 0 até 1 - x, porque quando z=0, y = 1 - x. Para cada par (x, y), z varia de 0 até 1 - x - y.
Portanto, os limites de integração são:
0 <= x <= 1,
0 <= y <= 1 - x,
0 <= z <= 1 - x - y

Passo 4

Agora, configuramos a integral tripla com os limites estabelecidos:
integral triplaE z , dV = integral0^1 integral0^1 - x integral0^1 - x - y z , dz , dy , dx
Vamos primeiro integrar em relação a z.

Passo 5

Integrando z de 0 a 1 - x - y:
integral0^1 - x - y z , dz = [ 12 z^2 ]0^1 - x - y = 12 (1 - x - y)^2
Substituindo na integral, temos:
integral triplaE z , dV = integral0^1 integral0^1 - x 12 (1 - x - y)^2 , dy , dx

Passo 6

Agora, integramos em relação a y:
integral0^1 - x 12 (1 - x - y)^2 , dy
Para facilitar, fazemos a substituição u = 1 - x - y, então du = -dy. Quando y = 0, u = 1 - x, e quando y = 1 - x, u = 0.
A integral fica:
12 integral1 - x^0 u^2 (-du) = 12 integral0^1 - x u^2 , du = 12 [ u^33 ]0^1 - x = 16 (1 - x)^3
Então, a integral agora é:
integral triplaE z , dV = integral0^1 16 (1 - x)^3 , dx

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a x:
integral0^1 16 (1 - x)^3 , dx = 16 integral0^1 (1 - x)^3 , dx
Fazendo a substituição t = 1 - x, dt = -dx, quando x=0, t=1, e quando x=1, t=0:
16 integral1^0 t^3 (-dt) = 16 integral0^1 t^3 , dt = 16 [ t^44 ]0^1 = 16 times 14 = 124

Resposta

O valor da integral tripla integral triplaE z , dV é boxeddfrac124.

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