Calcule a integral tripla , onde é o tetraedro limitado pelos quatro planos e .

Passo 1

Vamos calcular a integral tripla , onde é o tetraedro delimitado pelos planos , , e . Para resolver esse exercício, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, e precisaremos determinar os limites de integração apropriados para as variáveis , e dentro do tetraedro .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o tetraedro . Os planos , e são os planos coordenados que formam os eixos , e . O plano corta esses eixos formando uma face do tetraedro.
Para definir os limites de integração, vamos determinar até onde cada variável varia. Vamos integrar na ordem , , .

Passo 3

Começamos fixando entre 0 e 1, já que no plano , quando e , temos . Para cada valor de , varia de 0 até , porque quando , . Para cada par , varia de 0 até .
Portanto, os limites de integração são:

Passo 4

Agora, configuramos a integral tripla com os limites estabelecidos:
Vamos primeiro integrar em relação a .

Passo 5

Integrando de 0 a :
Substituindo na integral, temos:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Para facilitar, fazemos a substituição , então . Quando , , e quando , .
A integral fica:
Então, a integral agora é:

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a :
Fazendo a substituição , , quando , , e quando , :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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Calcule a integral tripla , onde é a região limitada pelo cilindro e pelos planos e , acima do plano .