Verifique se os campos são ou não conservatórios; em caso afirmativo determine uma função potencial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se um campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial para ele. O campo dado é
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial
, ou seja,
. Para verificar isso, uma condição importante é que o rotor de
deve ser zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotor de
. O rotor de um campo vetorial
é dado por:
Vamos identificar
,
, e
.
Passo 4
Calculando cada componente do rotor:
Passo 5
Agora, substituindo nas componentes do rotor:
Como o rotor é zero, o campo
é conservativo.
Passo 6
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Isso significa que:
Passo 7
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e
.
Passo 8
Agora, vamos usar
para encontrar
:
Então:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 9
Agora, vamos usar
para encontrar
:
Portanto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Finalmente, juntando tudo, a função potencial
é:
Podemos ignorar a constante
para simplificar.
Resposta
A função potencial é
.