Verifique se os campos são ou não conservatórios; em caso afirmativo determine uma função potencial F(x, y, z) = (e^x * y * z, e^x * z + 2 * y * z, e^x * y + y^2 + 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se um campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial para ele. O campo dado é . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial , ou seja, . Para verificar isso, uma condição importante é que o rotor de deve ser zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotor de . O rotor de um campo vetorial é dado por:
Vamos identificar , , e .

Passo 4

Calculando cada componente do rotor:

Passo 5

Agora, substituindo nas componentes do rotor:
Como o rotor é zero, o campo é conservativo.

Passo 6

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que:
Isso significa que:

Passo 7

Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de e .

Passo 8

Agora, vamos usar para encontrar :
Então:
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 9

Agora, vamos usar para encontrar :
Portanto:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Finalmente, juntando tudo, a função potencial é:
Podemos ignorar a constante para simplificar.

Resposta

A função potencial é .

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