Calcule a integral tripla , onde é a região limitada pelo cilindro e pelos planos e , acima do plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla . A região está limitada pelo cilindro , pelos planos , , e está acima do plano . Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas e coordenadas cilíndricas, já que temos um cilindro envolvido.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . O cilindro tem raio 3 e é paralelo ao eixo . Os planos e vão limitar a extensão de . O plano é a base na direção , e estar "acima do plano " significa que .

Passo 3

Como estamos lidando com um cilindro, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nessa coordenada, , , e permanece igual. O cilindro se transforma em .

Passo 4

Vamos definir os limites de integração:
  • varia de 0 a 3 (raio do cilindro).
  • varia de 0 a para cobrir todo o círculo, mas como , vai de 0 a .
  • varia entre e .

Passo 5

A função a ser integrada é . Em coordenadas cilíndricas, isso fica:

Passo 6

Lembre-se que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é . Então, a integral tripla fica:

Passo 7

Vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 8

Expandindo a expressão:
Os termos e se cancelam, restando:

Passo 9

Agora, a integral reduzida é:
Vamos separar em duas integrais:

Passo 10

Calculando as integrais em :
Substituindo:

Passo 11

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Fazendo a substituição , , os limites mudam:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então:
Segunda integral:

Passo 12

Substituindo de volta:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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