Calcule a integral tripla
, onde
é a região limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
, acima do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla
. A região
está limitada pelo cilindro
, pelos planos
,
,
e está acima do plano
. Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas e coordenadas cilíndricas, já que temos um cilindro envolvido.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. O cilindro
tem raio 3 e é paralelo ao eixo
. Os planos
e
vão limitar a extensão de
. O plano
é a base na direção
, e estar "acima do plano
" significa que
.
Passo 3
Como estamos lidando com um cilindro, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nessa coordenada,
,
, e
permanece igual. O cilindro
se transforma em
.
Passo 4
Vamos definir os limites de integração:
-
varia de 0 a 3 (raio do cilindro). -
varia de 0 a para cobrir todo o círculo, mas como , vai de 0 a . -
varia entre e .
Passo 5
A função a ser integrada é
. Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Passo 6
Lembre-se que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
. Então, a integral tripla fica:
Passo 7
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Passo 8
Expandindo a expressão:
Os termos
e
se cancelam, restando:
Passo 9
Agora, a integral reduzida é:
Vamos separar em duas integrais:
Passo 10
Calculando as integrais em
:
Substituindo:
Passo 11
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Fazendo a substituição
,
, os limites mudam:
- Quando
, - Quando
,
Então:
Segunda integral:
Passo 12
Substituindo de volta:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Ache o volume do sólido no primeiro octante, limitado pelo cilindro
, pelo plano
e pelos três planos coordenados.
Calcule a integral tripla
, onde
é o tetraedro limitado pelos quatro planos
e
.
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro
pelos planos
e
.
Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce