Calcule a integral tripla integral triplaS(x z+3 z) d V, onde S é a região limitada pelo cilindro x^2+z^2=9 e pelos planos x+y=3, y=0, z=0 e y=0, acima do plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla . A região está limitada pelo cilindro , pelos planos , , e está acima do plano . Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas e coordenadas cilíndricas, já que temos um cilindro envolvido.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . O cilindro tem raio 3 e é paralelo ao eixo . Os planos e vão limitar a extensão de . O plano é a base na direção , e estar "acima do plano " significa que .

Passo 3

Como estamos lidando com um cilindro, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nessa coordenada, , , e permanece igual. O cilindro se transforma em .

Passo 4

Vamos definir os limites de integração:
  • varia de 0 a 3 (raio do cilindro).
  • varia de 0 a para cobrir todo o círculo, mas como , vai de 0 a .
  • varia entre e .

Passo 5

A função a ser integrada é f(r, theta, y) = (r costheta)(r sintheta) + 3(r sintheta) = r^2 costheta sintheta + 3 r sintheta . Em coordenadas cilíndricas, isso fica:

Passo 6

Lembre-se que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é integraltheta=0^pi integralr=0^3 integraly=0^3 - r costheta (r^2 costheta sintheta + 3 r sintheta) r , dy , dr , dtheta . Então, a integral tripla fica:

Passo 7

Vamos integrar em relação a integral0^3 - r costheta (r^3 costheta sintheta + 3 r^2 sintheta) dy = (r^3 costheta sintheta + 3 r^2 sintheta)(3 - r costheta) primeiro:

Passo 8

Expandindo a expressão:
= 3 r^3 costheta sintheta - r^4 cos^2theta sintheta + 9 r^2 sintheta - 3 r^3 costheta sintheta
Os termos = - r^4 cos^2theta sintheta + 9 r^2 sintheta e se cancelam, restando:

Passo 9

Agora, a integral reduzida é:
integral0^pi integral0^3 (- r^4 cos^2theta sintheta + 9 r^2 sintheta) dr , dtheta
Vamos separar em duas integrais:
- integral0^pi cos^2theta sintheta ( integral0^3 r^4 dr ) dtheta + 9 integral0^pi sintheta ( integral0^3 r^2 dr ) dtheta

Passo 10

Calculando as integrais em integral0^3 r^4 dr = 3^55 = 2435 :
integral0^3 r^2 dr = 3^33 = 9
- 2435 integral0^pi cos^2theta sintheta , dtheta + 9 times 9 integral0^pi sintheta , dtheta
Substituindo:

Passo 11

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral0^pi cos^2theta sintheta , dtheta
Fazendo a substituição integral1^-1 u^2 (-du) = integral-1^1 u^2 du = [u^33]-1^1 = 13 - (-13) = 23 , integral0^pi sintheta , dtheta = [-costheta]0^pi = -(-1) - (-1) = 2 , os limites mudam:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então:
Segunda integral:

Passo 12

Substituindo de volta:
- 2435 times 23 + 81 times 2 = - 48615 + 162 = -32.4 + 162 = 129.6

Resposta

O valor da integral tripla é .

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