Verifique se os campos são ou não conservatórios; em caso afirmativo determine uma função potencial F(x, y, z) = (e^(y + 2z), x * e^(y + 2z), 2 * x^(y + 2z)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o campo vetorial é conservatório. Se for, temos que encontrar uma função potencial. Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservatórios e função potencial. Para resolver, vamos precisar calcular o rotacional do campo F.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservatório se o seu rotacional for zero, ou seja, . O rotacional de é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:

Passo 3

Agora, juntando tudo, o rotacional de F é:
Para que o campo seja conservatório, todas as componentes do rotacional devem ser iguais a zero. Observamos que isso não acontece a menos que condições específicas sejam satisfeitas, como x = 1 e . Porém, essas condições não são válidas para todo o domínio do campo.

Resposta

O campo F não é conservatório.

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