Verifique se os campos são ou não conservatórios; em caso afirmativo determine uma função potencial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservatório. Se for, temos que encontrar uma função potencial. Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservatórios e função potencial. Para resolver, vamos precisar calcular o rotacional do campo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservatório se o seu rotacional for zero, ou seja,
. O rotacional de
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Passo 3
Agora, juntando tudo, o rotacional de
é:
Para que o campo seja conservatório, todas as componentes do rotacional devem ser iguais a zero. Observamos que isso não acontece a menos que condições específicas sejam satisfeitas, como
e
. Porém, essas condições não são válidas para todo o domínio do campo.
Resposta
O campo
não é conservatório.
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Verifique se os campos são ou não conservatórios; em caso afirmativo determine uma função potencial
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Problema 2. (Use coordenadas cilíndricas)
Um sólido é delimitado pelo cone
e pelo plano
. A densidade
, no ponto
, é diretamente proporcional à distância do ponto
ao eixo
. Encontre a massa de
.
Um sólido
Verifique se os campos são ou não conservatórios; em caso afirmativo determine uma função potencial
.
Calcule a integral tripla
, onde
é o tetraedro limitado pelos quatro planos
e
.