Use a integral tripla para determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro pelos planos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o volume de um sólido usando uma integral tripla. Esse sólido está limitado pelo cilindro e pelos planos e . Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para cada variável ( , , e ) e usar a fórmula da integral tripla para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro é uma superfície que se estende indefinidamente ao longo do eixo . Os planos e vão limitar esse cilindro, formando o sólido cujo volume queremos encontrar.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para cada variável. Começamos por . Sabemos que varia de até (da equação ).
Para , observamos que a interseção entre os planos e o cilindro nos dá até (quando ).
Por fim, para , resolvemos para :
Como estamos calculando volume, consideramos apenas a parte positiva e negativa de .

Passo 4

Agora, configuramos a integral tripla com os limites encontrados:

Passo 5

Vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a :
Então, a integral simplifica para:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral em relação a :

Passo 7

Substituímos de volta na integral de :
Como a função é par (simétrica em relação ao eixo ), podemos simplificar multiplicando a integral de a por 2:

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
Substituindo :
Simplificando cada termo:

Passo 9

Juntando tudo:
Calculando os numeradores:
Então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Calcule a integral tripla , onde é a região limitada pelo cilindro e pelos planos e , acima do plano .
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