Use a integral tripla para determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro pelos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o volume de um sólido usando uma integral tripla. Esse sólido está limitado pelo cilindro e pelos planos e . Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para cada variável (, , e ) e usar a fórmula da integral tripla para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro é uma superfície que se estende indefinidamente ao longo do eixo . Os planos e vão limitar esse cilindro, formando o sólido cujo volume queremos encontrar.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração para cada variável. Começamos por . Sabemos que varia de até (da equação ).
Para , observamos que a interseção entre os planos e o cilindro nos dá até (quando ).
Por fim, para , resolvemos para :
Como estamos calculando volume, consideramos apenas a parte positiva e negativa de .
Passo 4
Agora, configuramos a integral tripla com os limites encontrados:
Passo 5
Vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a :
Então, a integral simplifica para:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral em relação a :
Passo 7
Substituímos de volta na integral de :
Como a função é par (simétrica em relação ao eixo ), podemos simplificar multiplicando a integral de a por 2: