Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçar o gráfico de uma curva dada por uma equação vetorial e indicar a direção em que o parâmetro
está crescendo. A matéria envolvida aqui é o Estudo de Curvas no Espaço, especificamente usando Equações Vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como interpretar a equação vetorial e como representar graficamente a curva no espaço 3D.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação vetorial dada:
. Isso significa que para cada valor de
, temos um ponto no espaço tridimensional com coordenadas
,
e
.
Passo 3
Vamos analisar cada componente:
- A componente
indica que à medida que aumenta, o ponto se move ao longo do eixo . - As componentes
e descrevem um movimento circular no plano , já que .
Passo 4
Então, a curva é uma hélice, onde o ponto está se movendo em um círculo no plano
enquanto avança linearmente no eixo
. A frequência angular de
significa que para cada volta completa no círculo,
aumenta de
a
(já que
dá uma volta completa).
Passo 5
Para desenhar o gráfico:
- Trace o eixo
e o plano . - Desenhe um círculo de raio 1 no plano
. - À medida que você desenha o círculo, mova-se para a direita no eixo
proporcionalmente a . - Coloque setas na hélice indicando que, conforme
aumenta, a direção é no sentido anti-horário no círculo e para a direita ao longo do eixo .
Resposta
A curva é uma hélice que gira no plano
com raio 1 enquanto avança linearmente no eixo
. O esboço deve mostrar um círculo no
estendido ao longo do
com setas indicando que, conforme
cresce, a hélice se move para a direita no eixo
e gira no sentido anti-horário no plano
.
Exercícios relacionados
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro
pelos planos
e
.
Calcule a integral tripla
, onde
é a região limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
, acima do plano
.
Em cada item marque com um
a alternativa correta, em que V indica verdadeiro e F indica falso.
(a) Seja a série e seja
, para todo
. Se
, então a série
converge.
(a) Seja a série
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(b)
(b)