Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para esboçar o gráfico de uma curva dada por uma equação vetorial e indicar a direção em que o parâmetro está crescendo. A matéria envolvida aqui é o Estudo de Curvas no Espaço, especificamente usando Equações Vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como interpretar a equação vetorial e como representar graficamente a curva no espaço 3D.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação vetorial dada: . Isso significa que para cada valor de , temos um ponto no espaço tridimensional com coordenadas , e .

Passo 3

Vamos analisar cada componente:
  • A componente indica que à medida que aumenta, o ponto se move ao longo do eixo .
  • As componentes e descrevem um movimento circular no plano , já que .

Passo 4

Então, a curva é uma hélice, onde o ponto está se movendo em um círculo no plano enquanto avança linearmente no eixo . A frequência angular de significa que para cada volta completa no círculo, aumenta de a (já que dá uma volta completa).

Passo 5

Para desenhar o gráfico:
  1. Trace o eixo e o plano .
  2. Desenhe um círculo de raio 1 no plano .
  3. À medida que você desenha o círculo, mova-se para a direita no eixo proporcionalmente a .
  4. Coloque setas na hélice indicando que, conforme aumenta, a direção é no sentido anti-horário no círculo e para a direita ao longo do eixo .

Resposta

A curva é uma hélice que gira no plano com raio 1 enquanto avança linearmente no eixo . O esboço deve mostrar um círculo no estendido ao longo do com setas indicando que, conforme cresce, a hélice se move para a direita no eixo e gira no sentido anti-horário no plano .

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Use a integral tripla para determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro pelos planos e .
Calcule a integral tripla , onde é a região limitada pelo cilindro e pelos planos e , acima do plano .
Em cada item marque com um a alternativa correta, em que V indica verdadeiro e F indica falso.
(a) Seja a série e seja , para todo . Se , então a série converge.
Classifique cada série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(b)