Calcule a integral tripla integralintegralintegralE z dV, onde E é o sólido limitado pelo cilindro x^2 + y^2 = 1 e pelos planos z = 0 e z = x + y + 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral triplo juntos! O problema pede para calcular a integral tripla , onde é o sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e . Vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais triplas, e vamos precisar entender como definir os limites de integração para essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o melhor sistema de coordenadas para facilitar a resolução. Como a base do sólido é um cilindro com equação x = r costheta y = r sintheta z = z , o cilindro é circular e tem raio 1. Isso indica que coordenadas cilíndricas são apropriadas, pois simplificam a descrição da região.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume se transforma em .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração para z = r costheta + r sintheta + 2 , e :
  • : Como o cilindro completa uma volta inteira, varia de a .
  • : O raio do cilindro vai de até , já que implica .
  • : Para cada ponto no cilindro, varia do plano inferior até o plano superior . Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Então, varia de a .

Passo 4

Com os limites definidos, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaE z , dV = integral0^2pi integral0^1 integral0^r(costheta + sintheta) + 2 z cdot r , dz , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integral em integral0^r(costheta + sintheta) + 2 z , dz = [ 12z^2 ]0^r(costheta + sintheta) + 2 = 12(r(costheta + sintheta) + 2)^2 :
    integral0^2pi integral0^1 12(r(costheta + sintheta) + 2)^2 cdot r , dr , dtheta
  2. Substituindo na integral:
    (r(costheta + sintheta) + 2)^2 = r^2(costheta + sintheta)^2 + 4r(costheta + sintheta) + 4
  3. Expandindo o quadrado:
    12 integral0^2pi integral0^1 [ r^3(costheta + sintheta)^2 + 4r^2(costheta + sintheta) + 4r ] dr , dtheta
  4. Dividindo a integral em três partes:
    12 integral0^2pi [ 14(costheta + sintheta)^2 + 43(costheta + sintheta) + 2 ] dtheta
  5. Integrando em 12 [ 14 integral0^2pi (costheta + sintheta)^2 dtheta + 43 integral0^2pi (costheta + sintheta) dtheta + 2 integral0^2pi dtheta ] :
    12 [ 14 times 2pi + 43 times 0 + 2 times 2pi ] = 12 [ pi2 + 0 + 4pi ] = 12 times 9pi2 = 9pi4
  6. Simplificando:
  7. Calculando as integrais separadamente:
    • (pois as integrais de e sobre o intervalo completo são zero)
  8. Substituindo de volta:

Resposta

A integral tripla vale .

Exercícios relacionados