Calcule a integral tripla , onde é o sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral triplo juntos! O problema pede para calcular a integral tripla , onde é o sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e . Vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais triplas, e vamos precisar entender como definir os limites de integração para essa região.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher o melhor sistema de coordenadas para facilitar a resolução. Como a base do sólido é um cilindro com equação , o cilindro é circular e tem raio 1. Isso indica que coordenadas cilíndricas são apropriadas, pois simplificam a descrição da região.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume se transforma em .
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração para , e :
: Como o cilindro completa uma volta inteira, varia de a .
: O raio do cilindro vai de até , já que implica .
: Para cada ponto no cilindro, varia do plano inferior até o plano superior . Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Então, varia de a .
Passo 4
Com os limites definidos, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo:
Integral em :
Substituindo na integral:
Expandindo o quadrado:
Dividindo a integral em três partes:
Integrando em :
Simplificando:
Calculando as integrais separadamente:
(pois as integrais de e sobre o intervalo completo são zero)