Calcule a integral tripla , onde é o sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral triplo juntos! O problema pede para calcular a integral tripla , onde é o sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e . Vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais triplas, e vamos precisar entender como definir os limites de integração para essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o melhor sistema de coordenadas para facilitar a resolução. Como a base do sólido é um cilindro com equação , o cilindro é circular e tem raio 1. Isso indica que coordenadas cilíndricas são apropriadas, pois simplificam a descrição da região.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume se transforma em .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração para , e :
  • : Como o cilindro completa uma volta inteira, varia de a .
  • : O raio do cilindro vai de até , já que implica .
  • : Para cada ponto no cilindro, varia do plano inferior até o plano superior . Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Então, varia de a .

Passo 4

Com os limites definidos, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integral em :
  2. Substituindo na integral:
  3. Expandindo o quadrado:
  4. Dividindo a integral em três partes:
  5. Integrando em :
  6. Simplificando:
  7. Calculando as integrais separadamente:
    • (pois as integrais de e sobre o intervalo completo são zero)
  8. Substituindo de volta:

Resposta

A integral tripla vale .

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