Determine os valores máximo e mínimo absolutos de no disco .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função dentro do disco definido por . Isso envolve usar conceitos de otimização em funções de duas variáveis e analisar tanto os pontos internos quanto a fronteira do domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do disco. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Igualando ambas a zero:
Então, o único ponto crítico interno é .

Passo 3

Agora, vamos verificar o valor da função nesse ponto crítico:
Esse é um candidato a mínimo ou máximo dentro do domínio.

Passo 4

Em seguida, precisamos analisar a fronteira do disco . Para isso, podemos usar coordenadas polares onde e , já que o raio é 2.
Substituindo na função:
Simplificando:
Então, a função na fronteira é .

Passo 5

Para encontrar os extremos na fronteira, observamos que varia entre -1 e 1. Assim:
  • Quando ,
  • Quando ,
Portanto, na fronteira, o valor mínimo de é 0 e o máximo é 8.

Resposta

O valor mínimo absoluto de no disco é no ponto e o valor máximo absoluto é nos pontos onde e .

Exercícios relacionados

Seja .
a) Determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
b) Determine os valores de máximo e mínimo locais de .
c) Determine os intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima e côncavo para baixo.
d) Determine os pontos de inflexão do gráfico de .
e) Esboce o gráfico de .
Calcule a integral dupla , onde é a região limitada pelas retas , e .
Calcule a integral tripla , onde é o sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e .
Calcule a energia produzida por massa de combustível, supondo que a combustão é completa.