Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no disco
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
dentro do disco definido por
. Isso envolve usar conceitos de otimização em funções de duas variáveis e analisar tanto os pontos internos quanto a fronteira do domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do disco. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Igualando ambas a zero:
Então, o único ponto crítico interno é
.
Passo 3
Agora, vamos verificar o valor da função nesse ponto crítico:
Esse é um candidato a mínimo ou máximo dentro do domínio.
Passo 4
Em seguida, precisamos analisar a fronteira do disco
. Para isso, podemos usar coordenadas polares onde
e
, já que o raio é 2.
Substituindo na função:
Simplificando:
Então, a função na fronteira é
.
Passo 5
Para encontrar os extremos na fronteira, observamos que
varia entre -1 e 1. Assim:
- Quando
, - Quando
,
Portanto, na fronteira, o valor mínimo de
é 0 e o máximo é 8.
Resposta
O valor mínimo absoluto de
no disco é
no ponto
e o valor máximo absoluto é
nos pontos onde
e
.