Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x no disco x^2 + y^2 <= 4.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função dentro do disco definido por . Isso envolve usar conceitos de otimização em funções de duas variáveis e analisar tanto os pontos internos quanto a fronteira do domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do disco. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de partial fpartial x = 2x - 2 em relação a partial fpartial y = 2y e 2x - 2 = 0 Rightarrow x = 1 e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a 2y = 0 Rightarrow y = 0 é:
E a derivada parcial em relação a é:
Igualando ambas a zero:
Então, o único ponto crítico interno é .

Passo 3

Agora, vamos verificar o valor da função nesse ponto crítico:
f(1, 0) = (1)^2 + (0)^2 - 2(1) = 1 + 0 - 2 = -1
Esse é um candidato a mínimo ou máximo dentro do domínio.

Passo 4

Em seguida, precisamos analisar a fronteira do disco f(2costheta, 2sintheta) = (2costheta)^2 + (2sintheta)^2 - 2(2costheta) = 4cos^2theta + 4sin^2theta - 4costheta . Para isso, podemos usar coordenadas polares onde f = 4(cos^2theta + sin^2theta) - 4costheta = 4(1) - 4costheta = 4 - 4costheta e , já que o raio é 2.
Substituindo na função:
Simplificando:
Então, a função na fronteira é .

Passo 5

Para encontrar os extremos na fronteira, observamos que varia entre -1 e 1. Assim:
  • Quando ,
  • Quando ,
Portanto, na fronteira, o valor mínimo de é 0 e o máximo é 8.

Resposta

O valor mínimo absoluto de no disco é no ponto e o valor máximo absoluto é nos pontos onde e .

Exercícios relacionados