Seja
.
a) Determine os intervalos onde
é crescente e decrescente.
b) Determine os valores de máximo e mínimo locais de
.
c) Determine os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima e côncavo para baixo.
d) Determine os pontos de inflexão do gráfico de
.
e) Esboce o gráfico de
.
a) Determine os intervalos onde
b) Determine os valores de máximo e mínimo locais de
c) Determine os intervalos onde o gráfico de
d) Determine os pontos de inflexão do gráfico de
e) Esboce o gráfico de
Passo 1
Vamos analisar a função
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo diferencial, especificamente derivadas para determinar intervalos de crescimento e decrescimento, encontrar máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e esboçar o gráfico da função. Para resolver isso, precisaremos calcular a primeira e a segunda derivadas da função.
Passo 2
a) Determinar os intervalos onde
é crescente e decrescente.
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
:
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde
:
Esses pontos dividem a reta real em três intervalos:
,
e
. Vamos testar a derivada em cada intervalo para determinar se a função está crescendo ou decrescendo.
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
Portanto:
-
é crescente nos intervalos e . -
é decrescente no intervalo .
Passo 3
b) Determinar os valores de máximo e mínimo locais de
.
Os pontos críticos
e
são candidatos a máximos ou mínimos locais. Para determinar isso, podemos usar a primeira derivada:
-
Em
: - A derivada muda de positiva para negativa (
passa de crescente para decrescente), indicando um máximo local.
- A derivada muda de positiva para negativa (
-
Em
: - A derivada muda de negativa para positiva (
passa de decrescente para crescente), indicando um mínimo local.
- A derivada muda de negativa para positiva (
Agora, vamos calcular os valores desses pontos:
Para
:
Então, há um máximo local em
.
Para
:
Então, há um mínimo local em
.
Passo 4
c) Determinar os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima e côncavo para baixo.
Para determinar a concavidade, precisamos da segunda derivada de
:
Agora, encontramos os pontos onde
:
Este ponto divide a reta real em dois intervalos:
e
. Vamos testar a segunda derivada em cada intervalo:
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
Portanto:
- O gráfico de
é côncavo para baixo no intervalo . - É côncavo para cima no intervalo
.
Passo 5
d) Determinar os pontos de inflexão do gráfico de
.
Os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Já identificamos que isso acontece em
.
Vamos encontrar o valor de
:
Então, o ponto de inflexão é
.
Passo 6
e) Esboçar o gráfico de
.
Com todas as informações obtidas:
-
Raízes da função: Resolvendo
: Então, as raízes sãoe (com multiplicidade 2). -
Interseção com o eixo
: Então, a função passa pela origem. -
Máximo local:
-
Mínimo local:
-
Ponto de inflexão:
Esboço do gráfico:
- A função começa indo para
quando tende a . - Cresce até
, onde atinge o máximo local . - Decresce até
, onde atinge o mínimo local . - Cresce novamente para
conforme tende a . - O ponto de inflexão
indica onde a concavidade muda.
![Esboço do gráfico de f(x) = x³ - 6x² + 9x](https://i.imgur.com/YourGraphImage.png)
Nota: Como não posso desenhar, imagine uma curva cúbica que passa pelos pontos mencionados, com as mudanças de concavidade e os pontos de máximo e mínimo indicados.
Resposta
a)
é crescente em
e
, e decrescente em
.
b) Máximo local em
e mínimo local em
.
c) O gráfico é côncavo para baixo em
e côncavo para cima em
.
d) Ponto de inflexão em
.
e) Esboço do gráfico conforme descrito.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla
, onde
é a região limitada pelas retas
,
e
.
Seja
,
e
.
a) Determine e
.
b) Determine e
quando
e
.
a) Determine
b) Determine
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no disco
.
Calcule a integral tripla
, onde
é o sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.