Seja .
a) Determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
b) Determine os valores de máximo e mínimo locais de .
c) Determine os intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima e côncavo para baixo.
d) Determine os pontos de inflexão do gráfico de .
e) Esboce o gráfico de .

Passo 1

Vamos analisar a função . O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo diferencial, especificamente derivadas para determinar intervalos de crescimento e decrescimento, encontrar máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e esboçar o gráfico da função. Para resolver isso, precisaremos calcular a primeira e a segunda derivadas da função.

Passo 2

a) Determinar os intervalos onde é crescente e decrescente.
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de :
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde :
Esses pontos dividem a reta real em três intervalos: , e . Vamos testar a derivada em cada intervalo para determinar se a função está crescendo ou decrescendo.
  1. Para , por exemplo, :
  1. Para , por exemplo, :
  1. Para , por exemplo, :
Portanto:
  • é crescente nos intervalos e .
  • é decrescente no intervalo .

Passo 3

b) Determinar os valores de máximo e mínimo locais de .
Os pontos críticos e são candidatos a máximos ou mínimos locais. Para determinar isso, podemos usar a primeira derivada:
  • Em :
    • A derivada muda de positiva para negativa ( passa de crescente para decrescente), indicando um máximo local.
  • Em :
    • A derivada muda de negativa para positiva ( passa de decrescente para crescente), indicando um mínimo local.
Agora, vamos calcular os valores desses pontos:
Para :
Então, há um máximo local em .
Para :
Então, há um mínimo local em .

Passo 4

c) Determinar os intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima e côncavo para baixo.
Para determinar a concavidade, precisamos da segunda derivada de :
Agora, encontramos os pontos onde :
Este ponto divide a reta real em dois intervalos: e . Vamos testar a segunda derivada em cada intervalo:
  1. Para , por exemplo, :
ô
  1. Para , por exemplo, :
ô
Portanto:
  • O gráfico de é côncavo para baixo no intervalo .
  • É côncavo para cima no intervalo .

Passo 5

d) Determinar os pontos de inflexão do gráfico de .
Os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Já identificamos que isso acontece em .
Vamos encontrar o valor de :
Então, o ponto de inflexão é .

Passo 6

e) Esboçar o gráfico de .
Com todas as informações obtidas:
  • Raízes da função: Resolvendo :
    Então, as raízes são e (com multiplicidade 2).
  • Interseção com o eixo :
    Então, a função passa pela origem .
  • Máximo local:
  • Mínimo local:
  • Ponto de inflexão:
Esboço do gráfico:
  1. A função começa indo para quando tende a .
  2. Cresce até , onde atinge o máximo local .
  3. Decresce até , onde atinge o mínimo local .
  4. Cresce novamente para conforme tende a .
  5. O ponto de inflexão indica onde a concavidade muda.
Esboço do gráfico de f(x) = x³ - 6x² + 9x
Nota: Como não posso desenhar, imagine uma curva cúbica que passa pelos pontos mencionados, com as mudanças de concavidade e os pontos de máximo e mínimo indicados.

Resposta

a) é crescente em e , e decrescente em .
b) Máximo local em e mínimo local em .
c) O gráfico é côncavo para baixo em e côncavo para cima em .
d) Ponto de inflexão em .
e) Esboço do gráfico conforme descrito.

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Seja , e .
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