Seja f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x.
a) Determine os intervalos onde f é crescente e decrescente.
b) Determine os valores de máximo e mínimo locais de f.
c) Determine os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima e côncavo para baixo.
d) Determine os pontos de inflexão do gráfico de f.
e) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

Vamos analisar a função . O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo diferencial, especificamente derivadas para determinar intervalos de crescimento e decrescimento, encontrar máximos e mínimos, concavidade, pontos de inflexão e esboçar o gráfico da função. Para resolver isso, precisaremos calcular a primeira e a segunda derivadas da função.

Passo 2

a) Determinar os intervalos onde f'(x) = ddx(x^3) - ddx(6x^2) + ddx(9x) = 3x^2 - 12x + 9 é crescente e decrescente.
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de 3x^2 - 12x + 9 = 0 x^2 - 4x + 3 = 0 (x - 1)(x - 3) = 0 x = 1 ou x = 3 :
f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9 > 0 (crescente)
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0 (decrescente) :
f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0 (crescente)
Esses pontos dividem a reta real em três intervalos: , e . Vamos testar a derivada em cada intervalo para determinar se a função está crescendo ou decrescendo.
  1. Para , por exemplo, :
  1. Para , por exemplo, :
  1. Para , por exemplo, :
Portanto:
  • é crescente nos intervalos e .
  • é decrescente no intervalo .

Passo 3

b) Determinar os valores de máximo e mínimo locais de f(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 1 - 6 + 9 = 4 .
Os pontos críticos f(3) = (3)^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 27 - 54 + 27 = 0 e são candidatos a máximos ou mínimos locais. Para determinar isso, podemos usar a primeira derivada:
  • Em :
    • A derivada muda de positiva para negativa ( passa de crescente para decrescente), indicando um máximo local.
  • Em :
    • A derivada muda de negativa para positiva ( passa de decrescente para crescente), indicando um mínimo local.
Agora, vamos calcular os valores desses pontos:
Para :
Então, há um máximo local em .
Para :
Então, há um mínimo local em .

Passo 4

c) Determinar os intervalos onde o gráfico de f''(x) = ddx(f'(x)) = ddx(3x^2 - 12x + 9) = 6x - 12 é côncavo para cima e côncavo para baixo.
Para determinar a concavidade, precisamos da segunda derivada de 6x - 12 = 0 x = 2 :
f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0 (côncavo para baixo)
Agora, encontramos os pontos onde f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 > 0 (côncavo para cima) :
Este ponto divide a reta real em dois intervalos: e . Vamos testar a segunda derivada em cada intervalo:
  1. Para , por exemplo, :
ô
  1. Para , por exemplo, :
ô
Portanto:
  • O gráfico de é côncavo para baixo no intervalo .
  • É côncavo para cima no intervalo .

Passo 5

d) Determinar os pontos de inflexão do gráfico de f(2) = (2)^3 - 6(2)^2 + 9(2) = 8 - 24 + 18 = 2 .
Os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Já identificamos que isso acontece em .
Vamos encontrar o valor de :
Então, o ponto de inflexão é .

Passo 6

e) Esboçar o gráfico de x^3 - 6x^2 + 9x = x(x^2 - 6x + 9) = x(x - 3)^2 = 0 Rightarrow x = 0 ou x = 3 .
Com todas as informações obtidas:
  • Raízes da função: Resolvendo f(0) = 0 :
    Então, as raízes são e (com multiplicidade 2).
  • Interseção com o eixo :
    Então, a função passa pela origem .
  • Máximo local:
  • Mínimo local:
  • Ponto de inflexão:
Esboço do gráfico:
  1. A função começa indo para quando tende a .
  2. Cresce até , onde atinge o máximo local .
  3. Decresce até , onde atinge o mínimo local .
  4. Cresce novamente para conforme tende a .
  5. O ponto de inflexão indica onde a concavidade muda.
Esboço do gráfico de f(x) = x³ - 6x² + 9x
Nota: Como não posso desenhar, imagine uma curva cúbica que passa pelos pontos mencionados, com as mudanças de concavidade e os pontos de máximo e mínimo indicados.

Resposta

a) é crescente em e , e decrescente em .
b) Máximo local em e mínimo local em .
c) O gráfico é côncavo para baixo em e côncavo para cima em .
d) Ponto de inflexão em .
e) Esboço do gráfico conforme descrito.

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