Calcule onde utilizando 3 ordens diferentes de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. A gente precisa calcular , onde a região é definida por , , e . Para isso, vamos usar três ordens diferentes de integração. Vamos precisar entender como configurar as integrais tripas em diferentes ordens e calcular cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher a ordem de integração . Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a , depois a , e por último a .
A integral fica assim:
Vamos resolver integral por integral.

Passo 3

Vamos integrar em relação a primeiro:
Substituindo os limites:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :

Passo 5

Por fim, integramos em relação a :

Passo 6

Agora, vamos escolher uma segunda ordem de integração, por exemplo, . A integral fica:
Vamos resolver passo a passo.

Passo 7

Integrando em relação a :

Passo 8

Agora, integramos em relação a :

Passo 9

Por último, integramos em relação a :

Passo 10

Agora, vamos usar a terceira ordem de integração, por exemplo, . A integral fica:
Vamos resolver passo a passo.

Passo 11

Integramos em relação a primeiro:

Passo 12

Agora, integramos em relação a :

Passo 13

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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Defina o conceito de Integral Tripla (Por Somas de Riemann) em paralelepípedos. Defina e esboce os tipos de região (Tipo I, II e III) de integração no espaço, conforme apresentado nos textos de apoio. Nesse item, vocês poderão utilizar o material disponibilizado e também aplicativos e softwares para os esboços, se acharem pertinente.