Calcule integral triplaD(x y-y^3) d V onde D=(x, y, z) in R^3 /-1 <= x <= 1,0 <= y <= 2,0 <= z <= 1 utilizando 3 ordens diferentes de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. A gente precisa calcular integral triplaD(x y - y^3) d V, onde a região D é definida por -1 <= x <= 1, 0 <= y <= 2, e 0 <= z <= 1. Para isso, vamos usar três ordens diferentes de integração. Vamos precisar entender como configurar as integrais tripas em diferentes ordens e calcular cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher a ordem de integração dx,dy,dz. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a x, depois a y, e por último a z.
A integral fica assim:
integral0^1 integral0^2 integral-1^1 (x y - y^3) , dx , dy , dz
Vamos resolver integral por integral.

Passo 3

Vamos integrar em relação a x primeiro:
integral-1^1 (x y - y^3) , dx = [ 12x^2 y - y^3 x ]-1^1
Substituindo os limites:
( 12(1)^2 y - y^3(1) ) - ( 12(-1)^2 y - y^3(-1) ) = ( 12y - y^3 ) - ( 12y + y^3 ) = -2 y^3

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a y:
integral0^2 (-2 y^3) , dy = -2 [ 14 y^4 ]0^2 = -2 ( 164 - 0 ) = -2 times 4 = -8

Passo 5

Por fim, integramos em relação a z:
integral0^1 (-8) , dz = -8 times (1 - 0) = -8

Passo 6

Agora, vamos escolher uma segunda ordem de integração, por exemplo, dy,dz,dx. A integral fica:
integral-1^1 integral0^1 integral0^2 (x y - y^3) , dy , dz , dx
Vamos resolver passo a passo.

Passo 7

Integrando em relação a y:
integral0^2 (x y - y^3) , dy = [ 12x y^2 - 14 y^4 ]0^2 = ( 12x (4) - 14(16) ) - (0 - 0) = 2x - 4

Passo 8

Agora, integramos em relação a z:
integral0^1 (2x - 4) , dz = (2x - 4) times (1 - 0) = 2x - 4

Passo 9

Por último, integramos em relação a x:
integral-1^1 (2x - 4) , dx = [ x^2 - 4x ]-1^1 = (1 - 4 ) - (1 + 4 ) = -3 - 5 = -8

Passo 10

Agora, vamos usar a terceira ordem de integração, por exemplo, dz,dx,dy. A integral fica:
integral0^2 integral-1^1 integral0^1 (x y - y^3) , dz , dx , dy
Vamos resolver passo a passo.

Passo 11

Integramos em relação a z primeiro:
integral0^1 (x y - y^3) , dz = (x y - y^3) times (1 - 0) = x y - y^3

Passo 12

Agora, integramos em relação a x:
integral-1^1 (x y - y^3) , dx = [ 12x^2 y - y^3 x ]-1^1 = ( 12y - y^3 ) - ( 12y + y^3 ) = -2 y^3

Passo 13

Por fim, integramos em relação a y:
integral0^2 (-2 y^3) , dy = -2 [ 14 y^4 ]0^2 = -2 times 4 = -8

Resposta

O valor da integral tripla integral triplaD(x y - y^3) d V é -8.

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