Encontre uma segunda solução
para a equação de Cauchy-Euler pelo método da redução de ordem. Escreva a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de Cauchy-Euler:
E já conhecemos uma solução dessa equação:
. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução
usando o método da redução de ordem. Depois disso, vamos montar a solução geral juntando as duas soluções encontradas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método da redução de ordem. A ideia é assumir que a segunda solução
é igual à primeira solução
multiplicada por uma função desconhecida
:
Isso ajuda a simplificar a equação e encontrar
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Essas expressões serão usadas na equação original.
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação de Cauchy-Euler:
Simplificando, percebemos que termos envolvendo
,
e
vão se cancelar, pois
já é solução da equação original.
Passo 5
Após simplificação, a equação reduz para:
Podemos dividir toda a equação por
para simplificar ainda mais:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para
. Vamos fazer uma substituição:
A equação fica:
Essa é uma equação linear que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 7
Calculamos o fator integrante
:
Primeiro, vamos calcular
. Como
:
Então:
Agora, substituindo na expressão do fator integrante:
Passo 8
Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Assim:
Passo 9
Integrando
para encontrar
:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos considerar
, então:
Passo 10
Agora, substituímos
na expressão de
:
Podemos simplificar a constante
para apenas uma constante
, então:
Para simplificar ainda mais, escolhemos
:
Resposta
A segunda solução é
e a solução geral da equação é:
onde
e
são constantes arbitrárias.