Encontre uma segunda solução y2(x) para a equação de Cauchy-Euler pelo método da redução de ordem. Escreva a solução geral.
x^2 y'' - 4 x y' + 6 y = 0, x > 0; y1(x) = x^2 + x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de Cauchy-Euler:
E já conhecemos uma solução dessa equação: . Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução usando o método da redução de ordem. Depois disso, vamos montar a solução geral juntando as duas soluções encontradas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método da redução de ordem. A ideia é assumir que a segunda solução é igual à primeira solução multiplicada por uma função desconhecida :
Isso ajuda a simplificar a equação e encontrar .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Essas expressões serão usadas na equação original.

Passo 4

Substituímos , e na equação de Cauchy-Euler:
Simplificando, percebemos que termos envolvendo , e vão se cancelar, pois já é solução da equação original.

Passo 5

Após simplificação, a equação reduz para:
Podemos dividir toda a equação por para simplificar ainda mais:

Passo 6

Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para . Vamos fazer uma substituição:
A equação fica:
Essa é uma equação linear que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 7

Calculamos o fator integrante :
Primeiro, vamos calcular . Como :
Então:
Agora, substituindo na expressão do fator integrante:

Passo 8

Multiplicamos a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Assim:

Passo 9

Integrando para encontrar :
Como estamos procurando uma solução particular, podemos considerar , então:

Passo 10

Agora, substituímos na expressão de :
Podemos simplificar a constante para apenas uma constante , então:
Para simplificar ainda mais, escolhemos :

Resposta

A segunda solução é e a solução geral da equação é:
onde e são constantes arbitrárias.

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