Calcule
onde
utilizando 3 ordens diferentes de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos calcular a integral tripla
sobre a região
definida por
,
, e
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de várias variáveis e experimentar diferentes ordens de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Ela é um paralelepípedo com limites simples para
,
e
. Isso significa que a ordem de integração pode ser trocada sem complicações. Vamos começar integrando na ordem
.
Passo 3
Na ordem
, a integral fica:
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro.
Passo 4
Integrando
em relação a
:
Agora, integrando
em relação a
:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 5
Agora, a próxima integral é em relação a
:
Passo 6
Finalmente, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, vamos usar uma segunda ordem de integração, por exemplo,
. A integral fica:
Vamos resolver passo a passo.
Passo 8
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Passo 10
Por último, integramos em relação a
:
Passo 11
Finalmente, vamos usar a terceira ordem de integração,
. A integral fica:
Passo 12
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 13
Agora, integramos em relação a
:
Passo 14
Por último, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral tripla
é
.