Calcule integral triplaD(z^2 y-x^3) d V onde D=(x, y, z) in R^3 /-1 <= x <= 1,0 <= y <= 2,0 <= z <= 1 utilizando 3 ordens diferentes de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos calcular a integral tripla integral triplaD(z^2 y - x^3) dV sobre a região D definida por -1 <= x <= 1, 0 <= y <= 2, e 0 <= z <= 1. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de várias variáveis e experimentar diferentes ordens de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração D. Ela é um paralelepípedo com limites simples para x, y e z. Isso significa que a ordem de integração pode ser trocada sem complicações. Vamos começar integrando na ordem dx, dy, dz.

Passo 3

Na ordem dx, dy, dz, a integral fica:
integral0^1 integral0^2 integral-1^1 (z^2 y - x^3) , dx , dy , dz
Vamos resolver a integral interna em relação a x primeiro.

Passo 4

Integrando z^2 y em relação a x:
integral-1^1 z^2 y , dx = z^2 y cdot (1 - (-1)) = 2 z^2 y
Agora, integrando -x^3 em relação a x:
integral-1^1 -x^3 , dx = -[x^44]-1^1 = -(14 - 14) = 0
Então, a integral interna resulta em 2 z^2 y.

Passo 5

Agora, a próxima integral é em relação a y:
integral0^2 2 z^2 y , dy = 2 z^2 cdot [y^22]0^2 = 2 z^2 cdot (2) = 4 z^2

Passo 6

Finalmente, integramos em relação a z:
integral0^1 4 z^2 , dz = 4 cdot [z^33]0^1 = 4 cdot (13) = 43

Passo 7

Agora, vamos usar uma segunda ordem de integração, por exemplo, dy, dz, dx. A integral fica:
integral-1^1 integral0^1 integral0^2 (z^2 y - x^3) , dy , dz , dx
Vamos resolver passo a passo.

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a y:
integral0^2 (z^2 y - x^3) , dy = z^2 cdot [y^22]0^2 - x^3 cdot [y]0^2 = z^2 cdot 2 - x^3 cdot 2 = 2 z^2 - 2 x^3

Passo 9

Agora, integramos em relação a z:
integral0^1 (2 z^2 - 2 x^3) , dz = 2 cdot [z^33]0^1 - 2 x^3 cdot [z]0^1 = 2 cdot 13 - 2 x^3 cdot 1 = 23 - 2 x^3

Passo 10

Por último, integramos em relação a x:
integral-1^1 (23 - 2 x^3) , dx = 23 cdot (1 - (-1)) - 2 cdot [x^44]-1^1 = 43 - 2 cdot 0 = 43

Passo 11

Finalmente, vamos usar a terceira ordem de integração, dz, dx, dy. A integral fica:
integral0^2 integral-1^1 integral0^1 (z^2 y - x^3) , dz , dx , dy

Passo 12

Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^1 (z^2 y - x^3) , dz = y cdot [z^33]0^1 - x^3 cdot [z]0^1 = y cdot 13 - x^3 cdot 1 = y3 - x^3

Passo 13

Agora, integramos em relação a x:
integral-1^1 (y3 - x^3) , dx = y3 cdot (1 - (-1)) - [x^44]-1^1 = 2y3 - 0 = 2y3

Passo 14

Por último, integramos em relação a y:
integral0^2 2y3 , dy = 23 cdot [y^22]0^2 = 23 cdot 2 = 43

Resposta

O valor da integral tripla integral triplaD(z^2 y - x^3) dV é 43.

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