Calcule onde utilizando 3 ordens diferentes de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos calcular a integral tripla sobre a região definida por , , e . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de várias variáveis e experimentar diferentes ordens de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela é um paralelepípedo com limites simples para , e . Isso significa que a ordem de integração pode ser trocada sem complicações. Vamos começar integrando na ordem .

Passo 3

Na ordem , a integral fica:
Vamos resolver a integral interna em relação a primeiro.

Passo 4

Integrando em relação a :
Agora, integrando em relação a :
Então, a integral interna resulta em .

Passo 5

Agora, a próxima integral é em relação a :

Passo 6

Finalmente, integramos em relação a :

Passo 7

Agora, vamos usar uma segunda ordem de integração, por exemplo, . A integral fica:
Vamos resolver passo a passo.

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a :

Passo 9

Agora, integramos em relação a :

Passo 10

Por último, integramos em relação a :

Passo 11

Finalmente, vamos usar a terceira ordem de integração, . A integral fica:

Passo 12

Primeiro, integramos em relação a :

Passo 13

Agora, integramos em relação a :

Passo 14

Por último, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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