Calcule onde utilizando 3
ordens diferentes de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla , onde a região é definida por , , e . Isso está no campo do cálculo multivariável, especificamente integrando funções em três dimensões. Para resolver, vamos usar três diferentes ordens de integração: primeiro integrando em , depois em , depois em ; depois mudando a ordem, e assim por diante.
Passo 2
Primeira ordem de integração: integrar em , depois em , depois em .
Primeiro, fixamos e , e integramos em relação a . A função que vamos integrar é . Então, temos:
Integrando termo a termo:
Sabemos que:
Aplicando os limites de a :
Passo 3
Agora, integramos o resultado em relação a , de a :
Sabemos que:
Portanto:
Passo 4
Por fim, integramos em relação a , de a :
Passo 5
Segunda ordem de integração: integrar em , depois em , depois em .
Primeiro, fixamos e , e integramos em relação a . A função é :
Integrando termo a termo:
Sabemos que:
Aplicando os limites de a :
Passo 6
Agora, integramos em relação a , de a :
Integrando termo a termo:
Como antes:
Aplicando os limites:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a , de a :
Passo 8
Terceira ordem de integração: integrar em , depois em , depois em .
Primeiro, fixamos e , e integramos em relação a . A função é :