Calcule onde utilizando 3
ordens diferentes de integração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla , onde a região é definida por , , e . Isso está no campo do cálculo multivariável, especificamente integrando funções em três dimensões. Para resolver, vamos usar três diferentes ordens de integração: primeiro integrando em , depois em , depois em ; depois mudando a ordem, e assim por diante.

Passo 2

Primeira ordem de integração: integrar em , depois em , depois em .
Primeiro, fixamos e , e integramos em relação a . A função que vamos integrar é . Então, temos:
Integrando termo a termo:
Sabemos que:
Aplicando os limites de a :

Passo 3

Agora, integramos o resultado em relação a , de a :
Sabemos que:
Portanto:

Passo 4

Por fim, integramos em relação a , de a :

Passo 5

Segunda ordem de integração: integrar em , depois em , depois em .
Primeiro, fixamos e , e integramos em relação a . A função é :
Integrando termo a termo:
Sabemos que:
Aplicando os limites de a :

Passo 6

Agora, integramos em relação a , de a :
Integrando termo a termo:
Como antes:
Aplicando os limites:

Passo 7

Por fim, integramos em relação a , de a :

Passo 8

Terceira ordem de integração: integrar em , depois em , depois em .
Primeiro, fixamos e , e integramos em relação a . A função é :
Integrando termo a termo:
Sabemos que:
Aplicando os limites de a :

Passo 9

Agora, integramos em relação a , de a :
Integrando termo a termo:
Calculando:

Passo 10

Por fim, integramos em relação a , de a :
Integrando termo a termo:
Sabemos que:
Aplicando os limites:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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