Calcule onde utilizando 3
ordens diferentes de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla , onde a região é definida por , , e . Isso está no campo do cálculo multivariável, especificamente integrando funções em três dimensões. Para resolver, vamos usar três diferentes ordens de integração: primeiro integrando em , depois em , depois em ; depois mudando a ordem, e assim por diante.
Passo 2
Primeira ordem de integração: integrar em , depois em , depois em .
Primeiro, fixamos e , e integramos em relação a . A função que vamos integrar é . Então, temos:
Integrando termo a termo:
Sabemos que:
Aplicando os limites de a :
Passo 3
Agora, integramos o resultado em relação a , de a :
Sabemos que:
Portanto:
Passo 4
Por fim, integramos em relação a , de a :
Passo 5
Segunda ordem de integração: integrar em y, depois em x, depois em z.
Primeiro, fixamos x e z, e integramos em relação a y. A função é x^3 z + y^2:
integral0^2 (x^3 z + y^2) , dy
Integrando termo a termo:
integral0^2 x^3 z , dy + integral0^2 y^2 , dy
Sabemos que:
integral x^3 z , dy = x^3 z y e integral y^2 , dy = y^33
Aplicando os limites de 0 a 2:
x^3 z (2 - 0) + 83 - 0 = 2x^3 z + 83
Passo 6
Agora, integramos 2x^3 z + 83 em relação a x, de -1 a 1: