Calcule integral triplaD(x^3 z+y^2) d V onde D=(x, y, z) in R^3 /-1 <= x <= 1,0 <= y <= 2,0 <= z <= 1 utilizando 3
ordens diferentes de integração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaD(x^3 z + y^2) dV, onde a região D é definida por -1 <= x <= 1, 0 <= y <= 2, e 0 <= z <= 1. Isso está no campo do cálculo multivariável, especificamente integrando funções em três dimensões. Para resolver, vamos usar três diferentes ordens de integração: primeiro integrando em x, depois em y, depois em z; depois mudando a ordem, e assim por diante.

Passo 2

Primeira ordem de integração: integrar em x, depois em y, depois em z.
Primeiro, fixamos y e z, e integramos em relação a x. A função que vamos integrar é x^3 z + y^2. Então, temos:
integral-1^1 (x^3 z + y^2) , dx
Integrando termo a termo:
integral-1^1 x^3 z , dx + integral-1^1 y^2 , dx
Sabemos que:
integral x^3 , dx = x^44 e integral y^2 , dx = y^2 x
Aplicando os limites de -1 a 1:
[x^44]-1^1 z + [y^2 x]-1^1 = (14 - 14) z + (y^2(1) - y^2(-1)) = 0 + 2y^2 = 2y^2

Passo 3

Agora, integramos o resultado 2y^2 em relação a y, de 0 a 2:
integral0^2 2y^2 , dy
Sabemos que:
integral y^2 , dy = y^33
Portanto:
2 [y^33]0^2 = 2 (83 - 0) = 163

Passo 4

Por fim, integramos 163 em relação a z, de 0 a 1:
integral0^1 163 , dz = 163 z g|0^1 = 163 (1 - 0) = 163

Passo 5

Segunda ordem de integração: integrar em y, depois em x, depois em z.
Primeiro, fixamos x e z, e integramos em relação a y. A função é x^3 z + y^2:
integral0^2 (x^3 z + y^2) , dy
Integrando termo a termo:
integral0^2 x^3 z , dy + integral0^2 y^2 , dy
Sabemos que:
integral x^3 z , dy = x^3 z y e integral y^2 , dy = y^33
Aplicando os limites de 0 a 2:
x^3 z (2 - 0) + 83 - 0 = 2x^3 z + 83

Passo 6

Agora, integramos 2x^3 z + 83 em relação a x, de -1 a 1:
integral-1^1 (2x^3 z + 83) , dx
Integrando termo a termo:
2z integral-1^1 x^3 , dx + 83 integral-1^1 , dx
Como antes:
integral x^3 , dx = x^44 e integral , dx = x
Aplicando os limites:
2z (14 - 14) + 83 (1 - (-1)) = 0 + 163 = 163

Passo 7

Por fim, integramos 163 em relação a z, de 0 a 1:
integral0^1 163 , dz = 163 z g|0^1 = 163 (1 - 0) = 163

Passo 8

Terceira ordem de integração: integrar em z, depois em y, depois em x.
Primeiro, fixamos x e y, e integramos em relação a z. A função é x^3 z + y^2:
integral0^1 (x^3 z + y^2) , dz
Integrando termo a termo:
integral0^1 x^3 z , dz + integral0^1 y^2 , dz
Sabemos que:
integral z , dz = z^22 e integral y^2 , dz = y^2 z
Aplicando os limites de 0 a 1:
x^3 (12 - 0) + y^2 (1 - 0) = x^32 + y^2

Passo 9

Agora, integramos x^32 + y^2 em relação a y, de 0 a 2:
integral0^2 (x^32 + y^2) , dy
Integrando termo a termo:
x^32 integral0^2 , dy + integral0^2 y^2 , dy
Calculando:
x^32 (2 - 0) + 83 - 0 = x^3 + 83

Passo 10

Por fim, integramos x^3 + 83 em relação a x, de -1 a 1:
integral-1^1 (x^3 + 83) , dx
Integrando termo a termo:
integral x^3 , dx + 83 integral , dx
Sabemos que:
integral x^3 , dx = x^44 e integral , dx = x
Aplicando os limites:
(14 - 14) + 83 (1 - (-1)) = 0 + 163 = 163

Resposta

O valor da integral tripla é 163.

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