Calcule integral triplaE x d V onde E é limitado pelos planos z=0 e z=x+y+7 e pelos cilindros x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9.

Passo 1

Vamos resumir o que precisa ser feito! O exercício pede para calcular a integral tripla , onde a região é limitada pelos planos e , e pelos cilindros e . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são perfeitas para lidar com cilindros. Vamos passar por cada passo juntinhos!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Temos dois cilindros concêntricos: um com raio ( ) e outro com raio ( ). Esses cilindros estão empilhados entre os planos e .
Nas coordenadas cilíndricas, a gente tem:
E o elemento de volume vira . Vamos usar isso para transformar nossa integral!

Passo 3

A função que queremos integrar é x = r cos theta . Em coordenadas cilíndricas, isso vira:
integral triplaE x , dV = integral triplaE r cos theta cdot r , dr , dtheta , dz = integral triplaE r^2 cos theta , dr , dtheta , dz
Então, nossa integral tripla fica:

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • Para 2 <= r <= 3, 0 <= theta <= 2pi, 0 <= z <= r(cos theta + sin theta) + 7 : Vai de a (entre os dois cilindros).
  • Para : Vai de a (uma volta completa ao redor dos cilindros).
  • Para : Vai de até .
Então, nossos limites são:

Passo 5

Vamos montar a integral com esses limites:
integral triplaE r^2 cos theta , dr , dtheta , dz = integral0^2pi integral2^3 integral0^r(cos theta + sin theta) + 7 r^2 cos theta , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a integral0^r(cos theta + sin theta) + 7 dz = r(cos theta + sin theta) + 7 primeiro. A integral de integral0^2pi integral2^3 r^2 cos theta [ r(cos theta + sin theta) + 7 ] dr , dtheta de a é simplesmente:
Então, nossa integral agora fica:

Passo 7

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
r^2 cos theta [ r(cos theta + sin theta) + 7 ] = r^3 cos theta (cos theta + sin theta) + 7r^2 cos theta
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral2^3 [ r^3 cos^2 theta + r^3 cos theta sin theta + 7r^2 cos theta ] dr , dtheta

Passo 8

Vamos separar essa integral em três partes:
integral0^2pi ( integral2^3 r^3 cos^2 theta , dr + integral2^3 r^3 cos theta sin theta , dr + integral2^3 7r^2 cos theta , dr ) dtheta

Passo 9

Observando a simetria, percebemos que certas integrais vão se anular. Especificamente:
  • integral0^2pi integral2^3 r^3 cos^2 theta , dr , dtheta
Portanto, só a primeira parte da integral contribui para o resultado final:

Passo 10

Vamos resolver a integral restante:
integral0^2pi integral2^3 r^3 cos^2 theta , dr , dtheta
Podemos separar as integrais:
integral2^3 r^3 , dr cdot integral0^2pi cos^2 theta , dtheta

Passo 11

Calculando cada parte:
  1. Integral em integral2^3 r^3 , dr = [ r^44 ]2^3 = 814 - 164 = 654 :
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi
  1. Integral em :
(Usamos a identidade trigonométrica , e a integral de sobre a é zero.)

Passo 12

Multiplicando os resultados das integrais:
654 times pi = 65pi4

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

Calcule integral triplaE 3-4 x d V onde E é a região abaixo de z=4-x y e acima da região no plano x y limitada por 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1.
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura T(t) de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante TM do meio ambiente, isto é:
dT/dt = k[T(t) - TM]
onde k é uma constante de proporcionalidade.
(b) Um ovo, a 98 graus C, é colocado em uma pia contendo água a 18 graus Celsius. Depois de 5 minutos, a temperatura do ovo é de 38 graus C. Supondo que durante o experimento a temperatura da água não aumente apreciavelmente, quanto tempo a mais será necessário para que o ovo atinja 20 graus Celsius ?
Determine se o campo vetorial F é ou não o gradiente de um campo escalar. Quando F for um gradiente, encontre uma função potencial correspondente.
F(x, y) = (3 x^2 y, x^3).
Considere F o campo vetorial definido em S = R^2 - {(0,0)} pela equação
F(x, y) = -y/(x^2+y^2) i + x/(x^2+y^2) j
Considere o conjunto T = R^2 - {(x, y) | y = 0, x <= 0}. Expresse (x, y) em coordenadas polares, isto é,
x = r cos(θ), y = r sen(θ)
onde r > 0 e -pi < theta < pi. Mostre que
theta = { arctan(y/x), x > 0; pi/2, x = 0; arctan(x/y), x < 0 }