Calcule
onde
é limitado pelos planos
e
e pelos cilindros
e
.
Passo 1
Vamos resumir o que precisa ser feito! O exercício pede para calcular a integral tripla
, onde a região
é limitada pelos planos
e
, e pelos cilindros
e
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são perfeitas para lidar com cilindros. Vamos passar por cada passo juntinhos!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Temos dois cilindros concêntricos: um com raio
(
) e outro com raio
(
). Esses cilindros estão empilhados entre os planos
e
.
Nas coordenadas cilíndricas, a gente tem:
E o elemento de volume
vira
. Vamos usar isso para transformar nossa integral!
Passo 3
A função que queremos integrar é
. Em coordenadas cilíndricas, isso vira:
Então, nossa integral tripla fica:
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração:
- Para
: Vai de a (entre os dois cilindros). - Para
: Vai de a (uma volta completa ao redor dos cilindros). - Para
: Vai de até .
Então, nossos limites são:
Passo 5
Vamos montar a integral com esses limites:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro. A integral de
de
a
é simplesmente:
Então, nossa integral agora fica:
Passo 7
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos separar essa integral em três partes:
Passo 9
Observando a simetria, percebemos que certas integrais vão se anular. Especificamente:
Portanto, só a primeira parte da integral contribui para o resultado final:
Passo 10
Vamos resolver a integral restante:
Podemos separar as integrais:
Passo 11
Calculando cada parte:
- Integral em
:
- Integral em
:
(Usamos a identidade trigonométrica
, e a integral de
sobre
a
é zero.)
Passo 12
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Calcule
onde
é a região abaixo de
e acima da região no plano
limitada por
e
.
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura
de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante
do meio ambiente, isto é:
onde
é uma constante de proporcionalidade.
(b) Um ovo, a , é colocado em uma pia contendo água a
. Depois de 5 minutos, a temperatura do ovo é de
. Supondo que durante o experimento a temperatura da água não aumente apreciavelmente, quanto tempo a mais será necessário para que o ovo atinja
?
(b) Um ovo, a
Determine se o campo vetorial
é ou não o gradiente de um campo escalar. Quando
for um gradiente, encontre uma função potencial correspondente.
.
Considere
o campo vetorial definido em
pela equação
Considere o conjunto
. Expresse
em coordenadas polares, isto é,
onde
e
. Mostre que