Determine se o campo vetorial é ou não o gradiente de um campo escalar. Quando for um gradiente, encontre uma função potencial correspondente. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o campo vetorial é o gradiente de algum campo escalar. Isso significa que precisamos verificar se existe uma função escalar tal que . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo (ou seja, é o gradiente de uma função escalar) se ele satisfaz a condição de igualdade das derivadas parciais cruzadas. Em outras palavras, precisamos verificar se:
Aqui, e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Calculando :
Calculando :
Passo 4
Agora, comparamos as duas derivadas:
Como elas são iguais, a condição para o campo ser conservativo é satisfeita.
Passo 5
Como o campo é conservativo, sabemos que existe uma função potencial tal que:
Isso nos dá as equações:
Vamos integrar uma dessas equações para encontrar .
Passo 6
Vamos começar integrando em relação a :
Aqui, é uma função de integração que depende apenas de .
Passo 7
Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar :
Comparando os dois lados:
Isso significa que é uma constante. Vamos chamar essa constante de .
Resposta
Então, a função potencial é:
Portanto, o campo vetorial é o gradiente do campo escalar .