Determine se o campo vetorial F é ou não o gradiente de um campo escalar. Quando F for um gradiente, encontre uma função potencial correspondente.
F(x, y) = (3 x^2 y, x^3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o campo vetorial F(x, y) = (3 x^2 y, x^3) é o gradiente de algum campo escalar. Isso significa que precisamos verificar se existe uma função escalar f(x, y) tal que . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo (ou seja, é o gradiente de uma função escalar) se ele satisfaz a condição de igualdade das derivadas parciais cruzadas. Em outras palavras, precisamos verificar se:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Calculando :
  1. Calculando :

Passo 4

Agora, comparamos as duas derivadas:
Como elas são iguais, a condição para o campo F ser conservativo é satisfeita.

Passo 5

Como o campo é conservativo, sabemos que existe uma função potencial f(x, y) tal que:
Isso nos dá as equações:
Vamos integrar uma dessas equações para encontrar f(x, y).

Passo 6

Vamos começar integrando em relação a x:
Aqui, g(y) é uma função de integração que depende apenas de y.

Passo 7

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar g(y):
Comparando os dois lados:
Isso significa que g(y) é uma constante. Vamos chamar essa constante de C.

Resposta

Então, a função potencial é:
Portanto, o campo vetorial F(x, y) = (3 x^2 y, x^3) é o gradiente do campo escalar .

Exercícios relacionados

Calcule integral triplaE x d V onde E é limitado pelos planos z=0 e z=x+y+7 e pelos cilindros x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9.
Calcule integral triplaE 3-4 x d V onde E é a região abaixo de z=4-x y e acima da região no plano x y limitada por 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1.
Considere F o campo vetorial definido em S = R^2 - {(0,0)} pela equação
F(x, y) = -y/(x^2+y^2) i + x/(x^2+y^2) j
Considere o conjunto T = R^2 - {(x, y) | y = 0, x <= 0}. Expresse (x, y) em coordenadas polares, isto é,
x = r cos(θ), y = r sen(θ)
onde r > 0 e -pi < theta < pi. Mostre que
theta = { arctan(y/x), x > 0; pi/2, x = 0; arctan(x/y), x < 0 }
Utilize o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e um disco ou anel típicos.
y = x, y = 0, x = 2, x = 4 em torno do eixo x = 1