Considere F o campo vetorial definido em S = R^2 - {(0,0)} pela equação
F(x, y) = -y/(x^2+y^2) i + x/(x^2+y^2) j
Considere o conjunto T = R^2 - {(x, y) | y = 0, x <= 0}. Expresse (x, y) em coordenadas polares, isto é,
x = r cos(θ), y = r sen(θ)
onde r > 0 e -pi < theta < pi. Mostre que
theta = { arctan(y/x), x > 0; pi/2, x = 0; arctan(x/y), x < 0 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente transforme as coordenadas cartesianas (x, y) em coordenadas polares (r, θ), onde e . Além disso, a gente precisa mostrar como expressar o ângulo theta dependendo se x é positivo, zero ou negativo. Para resolver isso, vamos usar a definição de coordenadas polares e entender como o arco-tangente funciona em cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como as coordenadas polares funcionam. Em coordenadas polares, qualquer ponto (x, y) no plano pode ser representado por:
Aqui, r é a distância do ponto até a origem, e theta é o ângulo que o vetor que vai da origem até o ponto faz com o eixo positivo do x.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma expressão para theta em termos de x e y. Sabemos que a tangente de theta é:
Então, para encontrar theta, usamos a função arco-tangente, que é:
Mas atenção! A função por si só só nos dá valores de theta no intervalo , ou seja, ela funciona bem quando , mas precisamos ajustar para quando x <= 0.

Passo 4

Vamos considerar os diferentes casos para x:
  1. Quando : Nesse caso, o ângulo theta está no primeiro ou quarto quadrante, e a expressão funciona perfeitamente para determinar theta.
  2. Quando x = 0: Aqui, o ponto está sobre o eixo y. Se , então ; se , . No enunciado, consideramos apenas x = 0 com y ≥ 0 por causa do conjunto T.
  3. Quando : Agora, o ponto está no segundo ou terceiro quadrante. A função nos dá um valor que está no intervalo , mas precisamos ajustar theta adicionando pi para que ele esteja no intervalo correto (-pi, pi).
Por isso, a expressão para theta fica assim:

Resposta

Assim, mostramos que o ângulo theta pode ser expresso de acordo com o valor de x da seguinte forma:

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