Calcule integral triplaE 3-4 x d V onde E é a região abaixo de z=4-x y e acima da região no plano x y limitada por 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral que pede para calcular a integral tripla de sobre a região . Aqui, estamos trabalhando com geometria tridimensional e integrais múltiplas. Precisamos entender os limites de integração para , e com base nas informações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração para cada variável. A região está abaixo da superfície e acima da região no plano limitada por e . Isso significa que:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada valor de , varia de 0 a 1.
  • Para cada par , varia de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla com esses limites:
integral triplaE (3 - 4x) , dV = integral0^2 integral0^1 integral0^4 - xy (3 - 4x) , dz , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em , depois em e finalmente em .

Passo 4

Vamos resolver a integral mais interna, em relação a integral0^4 - xy (3 - 4x) , dz = (3 - 4x) cdot z |0^4 - xy = (3 - 4x)(4 - xy) :
(3 - 4x)(4 - xy) = 12 - 3xy - 16x + 4x^2 y
Simplificando:

Passo 5

Agora, integramos em relação a integral0^1 (12 - 3xy - 16x + 4x^2 y) , dy = 12y - 3x2 y^2 - 16x y + 2x^2 y^2 |0^1 :
12(1) - 3x2(1)^2 - 16x(1) + 2x^2(1)^2 = 12 - 3x2 - 16x + 2x^2
Substituindo 12 - 35x2 + 2x^2 e :
Simplificando:

Passo 6

Finalmente, integramos em relação a integral0^2 (12 - 35x2 + 2x^2) , dx = 12x - 354x^2 + 23x^3 |0^2 :
12(2) - 354(2)^2 + 23(2)^3 = 24 - 354 cdot 4 + 23 cdot 8 = 24 - 35 + 163
Substituindo 24 = 723, 35 = 1053, 163 = 163 e 723 - 1053 + 163 = -173 :
Convertendo para frações:
Então:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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