Calcule onde é a região abaixo de e acima da região no plano limitada por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral que pede para calcular a integral tripla de sobre a região . Aqui, estamos trabalhando com geometria tridimensional e integrais múltiplas. Precisamos entender os limites de integração para , e com base nas informações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração para cada variável. A região está abaixo da superfície e acima da região no plano limitada por e . Isso significa que:
varia de 0 a 2.
Para cada valor de , varia de 0 a 1.
Para cada par , varia de 0 até .
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla com esses limites:
Aqui, estamos integrando primeiro em , depois em e finalmente em .
Passo 4
Vamos resolver a integral mais interna, em relação a :
Simplificando:
Passo 5
Agora, integramos em relação a integral0^1 (12 - 3xy - 16x + 4x^2 y) , dy = 12y - 3x2 y^2 - 16x y + 2x^2 y^2 |0^1 :