Calcule o volume da região limitada pelo plano e pelo gráfico de que está acima do triângulo com vértices e .
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume da região que está entre o plano (que é basicamente onde ) e o gráfico da função . Essa região está acima de um triângulo com vértices nas coordenadas , e . Para resolver isso, vamos usar integrais duplas, que nos ajudam a encontrar volumes sob superfícies em regiões específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a área do triângulo onde vamos calcular o volume. O triângulo tem os vértices em , e . Isso significa que a base do triângulo está no eixo de a , e a altura está no eixo de a . Para definir os limites de integração, precisamos expressar em função de ou vice-versa.
Passo 3
Vamos encontrar a equação da reta que forma a hipotenusa do triângulo, que liga a . A inclinação dessa reta é:
Então, a equação da reta é:
Isso significa que, para cada valor de entre e , varia de até .
Passo 4
Agora, vamos montar a integral dupla para encontrar o volume. A função que estamos integrando é . Os limites de integração são:
varia de a
Para cada , varia de a
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . Como a função não depende de , a integral fica:
Então, a integral se simplifica para:
Passo 6
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos fazer uma substituição , então . A integral fica:
Essa integral não tem uma antiderivada em termos de funções elementares, então vamos deixar em termos de integral definida.
Passo 8
Somando todas as integrais:
Simplificando:
Passo 9
Como a integral não pode ser expressa de forma simples, podemos deixá-la como está ou aproximar numericamente se necessário. Para fins de resposta final, vamos deixar a expressão simbolicamente.