Calcule o volume da região limitada pelo plano x y e pelo gráfico de f(x, y) = 2 + cos(x^2) que está acima do triângulo com vértices (0,0),(6,0) e 0,2.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume da região que está entre o plano xy (que é basicamente onde z = 0) e o gráfico da função . Essa região está acima de um triângulo com vértices nas coordenadas (0,0), 6,0 e 0,2. Para resolver isso, vamos usar integrais duplas, que nos ajudam a encontrar volumes sob superfícies em regiões específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a área do triângulo onde vamos calcular o volume. O triângulo tem os vértices em (0,0), 6,0 e 0,2. Isso significa que a base do triângulo está no eixo x de 0 a , e a altura está no eixo y de 0 a . Para definir os limites de integração, precisamos expressar y em função de x ou vice-versa.

Passo 3

Vamos encontrar a equação da reta que forma a hipotenusa do triângulo, que liga 6,0 a 0,2. A inclinação dessa reta é:
Então, a equação da reta é:
Isso significa que, para cada valor de x entre 0 e , y varia de 0 até .

Passo 4

Agora, vamos montar a integral dupla para encontrar o volume. A função que estamos integrando é . Os limites de integração são:
  • x varia de 0 a
  • Para cada x, y varia de 0 a
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y. Como a função não depende de y, a integral fica:
Então, a integral se simplifica para:

Passo 6

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos fazer uma substituição , então . A integral fica:
Essa integral não tem uma antiderivada em termos de funções elementares, então vamos deixar em termos de integral definida.

Passo 8

Somando todas as integrais:
Simplificando:

Passo 9

Como a integral não pode ser expressa de forma simples, podemos deixá-la como está ou aproximar numericamente se necessário. Para fins de resposta final, vamos deixar a expressão simbolicamente.

Resposta

O volume da região é dado por:

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