Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região definida por e . Isso está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente integral tripla em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e aplicar a fórmula da integral tripla.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . A condição define um cilindro circular com raio 1 no plano . E limita esse cilindro entre as alturas e . Então, nossa região de integração é um cilindro de altura 1 e raio 1.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla. Em coordenadas cartesianas, a integral tripla fica assim:
Mas para simplificar, é melhor mudar a ordem de integração para de a , de a , e de a .
Passo 4
Vamos reescrever a integral na ordem :
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a integral-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 x^2 , dy = x^2 cdot ( y ) |-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 = x^2 cdot ( raiz1 - x^2 - (-raiz1 - x^2) ) = 2x^2raiz1 - x^2 :
integralx=-1^1 2x^2raiz1 - x^2 , dx
Portanto, a integral fica:
Passo 7
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir 2 integral-pi2^pi2 sin^2theta cdot costheta cdot costheta , dtheta = 2 integral-pi2^pi2 sin^2theta cos^2theta , dtheta , então e . Os limites de integração mudam de a para a .