Calcule integral triplaR f(x, y, z) d x d y d z onde f(x, y, z)=x^2 e R x^1+y^2 <= 1 e 0 <= z <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região definida por e . Isso está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas, especificamente integral tripla em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e aplicar a fórmula da integral tripla.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A condição define um cilindro circular com raio 1 no plano . E limita esse cilindro entre as alturas e . Então, nossa região de integração é um cilindro de altura 1 e raio 1.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla. Em coordenadas cartesianas, a integral tripla fica assim:
integral triplaR f(x, y, z) , dx , dy , dz = integralz=0^1 integraly=-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 integralx=-1^1 x^2 , dx , dy , dz
Mas para simplificar, é melhor mudar a ordem de integração para de a , de a , e de a .

Passo 4

Vamos reescrever a integral na ordem integral triplaR x^2 , dx , dy , dz = integralx=-1^1 integraly=-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 integralz=0^1 x^2 , dz , dy , dx :

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a integral0^1 x^2 , dz = x^2 cdot z |0^1 = x^2 cdot (1 - 0) = x^2 :
integralx=-1^1 integraly=-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 x^2 , dy , dx
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a integral-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 x^2 , dy = x^2 cdot ( y ) |-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 = x^2 cdot ( raiz1 - x^2 - (-raiz1 - x^2) ) = 2x^2raiz1 - x^2 :
integralx=-1^1 2x^2raiz1 - x^2 , dx
Portanto, a integral fica:

Passo 7

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir 2 integral-pi2^pi2 sin^2theta cdot costheta cdot costheta , dtheta = 2 integral-pi2^pi2 sin^2theta cos^2theta , dtheta , então e . Os limites de integração mudam de a para a .
Substituindo:

Passo 8

Agora, usamos a identidade trigonométrica 2 integral-pi2^pi2 ( 1 - cos(2theta)2 ) ( 1 + cos(2theta)2 ) , dtheta = 24 integral-pi2^pi2 (1 - cos^2(2theta)) , dtheta = 12 integral-pi2^pi2 (1 - cos^2(2theta)) , dtheta e :

Passo 9

Integramos termo a termo:
12 [ integral-pi2^pi2 1 , dtheta - integral-pi2^pi2 cos^2(2theta) , dtheta ]
Sabemos que 12 [ theta |-pi2^pi2 - ( theta2 + sin(4theta)8 |-pi2^pi2 ) ] . Aplicando:

Passo 10

Calculando os limites:
12 [ ( pi2 - (-pi2) ) - ( pi2 - (-pi2)2 + sin(2pi)8 - sin(-2pi)8 ) ] = 12 [ pi - ( pi2 + 0 ) ] = 12 ( pi2 ) = pi4

Resposta

O valor da integral tripla é .

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