Use o critério de Leibniz para testar a convergências das séries:
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita com termos alternados dada por:
Queremos usar o critério de Leibniz para verificar se essa série converge. Para isso, precisamos saber o que é o critério de Leibniz e como aplicá-lo.
Passo 2
O critério de Leibniz, também conhecido como Teste da Série Alternada, é usado para determinar se séries com termos que alternam sinais convergem. Esse critério diz que uma série da forma
converge se duas condições forem atendidas:
- Decrescimento dos termos: Os termos
devem ser decrescentes, ou seja, para todo . - Limite dos termos: O limite dos termos
quando tende ao infinito deve ser zero, isto é, .
Passo 3
Vamos identificar os termos da nossa série:
Primeiro, precisamos verificar se
.
Passo 4
Calculando o limite:
Sabemos que o fatorial
cresce muito mais rápido que qualquer função exponencial como
. Isso significa que, conforme
aumenta, o denominador cresce muito mais rapidamente que o numerador, fazendo com que o limite seja zero.
Passo 5
Agora, vamos verificar se os termos
são decrescentes. Precisamos ver se
.
Vamos calcular a razão entre
e
:
Para valores grandes de
, essa razão tende a zero, o que significa que
. Portanto, os termos são decrescentes a partir de um certo ponto.
Resposta
Pela aplicação do critério de Leibniz, concluímos que a série
converge.