Use o critério de Leibniz para testar a convergências das séries:
[2] sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2 2^nn!

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita com termos alternados dada por:
sumn=1^infty (-1)^n+1 n^2 2^nn!
Queremos usar o critério de Leibniz para verificar se essa série converge. Para isso, precisamos saber o que é o critério de Leibniz e como aplicá-lo.

Passo 2

O critério de Leibniz, também conhecido como Teste da Série Alternada, é usado para determinar se séries com termos que alternam sinais convergem. Esse critério diz que uma série da forma converge se duas condições forem atendidas:
  1. Decrescimento dos termos: Os termos devem ser decrescentes, ou seja, para todo .
  2. Limite dos termos: O limite dos termos quando tende ao infinito deve ser zero, isto é, .

Passo 3

Vamos identificar os termos da nossa série:
an = n^2 2^nn!
Primeiro, precisamos verificar se .

Passo 4

Calculando o limite:
limn to infty n^2 2^nn!
Sabemos que o fatorial limn to infty an = 0 cresce muito mais rápido que qualquer função exponencial como . Isso significa que, conforme aumenta, o denominador cresce muito mais rapidamente que o numerador, fazendo com que o limite seja zero.

Passo 5

Agora, vamos verificar se os termos an+1an = (n+1)^2 2^n+1 / (n+1)!n^2 2^n / n! = (n+1)^2 cdot 2(n+1) cdot n^2 = (n+1) cdot 2n^2 = 2(n+1)n^2 são decrescentes. Precisamos ver se .
Vamos calcular a razão entre e :
Para valores grandes de , essa razão tende a zero, o que significa que . Portanto, os termos são decrescentes a partir de um certo ponto.

Resposta

Pela aplicação do critério de Leibniz, concluímos que a série
sumn=1^infty (-1)^n+1 n^2 2^nn!
converge.

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