Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos.
(e) sumn=1^infty 3^nn^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usar o teste da razão ou o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge. A gente vai precisar entender como funcionam esses testes e aplicar um deles para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar a convergência de uma série calculando o limite da razão entre termos consecutivos da série. A fórmula é:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , a série diverge; se , o teste não conclui nada.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Aqui, an+1an = 3^n+1/(n+1)^33^n/n^3 = 3 cdot (nn+1)^3 . Vamos calcular:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty 3 cdot (nn+1)^3 = 3 cdot (limn to infty nn+1)^3 = 3 cdot (1)^3 = 3 tende ao infinito:

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, se , a série diverge. Aqui, , então a série não converge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Razão.

Exercícios relacionados