Calcule integral triplaR f(x, y, z) d x d y d z onde f(x, y, z)=1 e R é dado por x^2+y^2 <= z <= 2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla onde e a região é definida por . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para , e na região .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A desigualdade representa um paraboloide parabólico que abre para cima, enquanto é um plano inclinado. Queremos a região onde o paraboloide está abaixo do plano. Para entender os limites de integração, precisamos descobrir onde essas duas superfícies se encontram.

Passo 3

Vamos encontrar a interseção das duas superfícies igualando (x - 1)^2 + y^2 = 1 . Podemos rearranjar isso para , que é a equação de um círculo. Completando o quadrado para :
Esse é um círculo de raio 1 centrado em no plano .

Passo 4

Agora, para definir os limites de integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a região tem simetria circular. Nas coordenadas cilíndricas, temos (r cos theta - 1)^2 + (r sin theta)^2 = 1 , r^2 - 2r cos theta = 0 implies r (r - 2 cos theta) = 0 e . A equação do círculo em coordenadas cilíndricas fica:
Simplificando:
Então, ou .

Passo 5

Determinar os limites para . Como precisa ser positivo, , então varia de a .
Os limites para vão de 0 a .

Passo 6

Agora, vamos definir os limites para z vai de r^2 até 2r cos theta . Como varia de até , em coordenadas cilíndricas isso se torna:
é

Passo 7

Escrevendo a integral tripla em coordenadas cilíndricas, lembrando que o elemento de volume integral triplaR 1 , dV = integral-pi2^pi2 integral0^2 cos theta integralr^2^2 r cos theta r , dz , dr , dtheta :

Passo 8

Vamos resolver a integral em integralr^2^2 r cos theta dz = 2 r cos theta - r^2 primeiro:
integral-pi2^pi2 integral0^2 cos theta r (2 r cos theta - r^2) , dr , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 9

Expandindo a expressão dentro da integral:
integral-pi2^pi2 integral0^2 cos theta (2 r^2 cos theta - r^4) , dr , dtheta
Vamos integrar em integral0^2 cos theta 2 r^2 cos theta , dr = 2 cos theta [ r^33 ]0^2 cos theta = 2 cos theta ( (2 cos theta)^33 ) = 16 cos^4 theta3 :
integral0^2 cos theta r^4 , dr = [ r^55 ]0^2 cos theta = (2 cos theta)^55 = 32 cos^5 theta5
integral-pi2^pi2 ( 16 cos^4 theta3 - 32 cos^5 theta5 ) dtheta
Então, a integral se torna:

Passo 10

Vamos integrar em integral-pi2^pi2 16 cos^4 theta3 , dtheta = 163 cdot 2 integral0^pi2 cos^4 theta , dtheta . Primeiro, observe que a função 163 cdot 2 cdot 3pi16 = 2pi é ímpar em relação a , então sua integral de a é zero. Assim, a integral simplifica para:
Usando a fórmula para , temos:

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados