Calcule
onde
e
é dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
onde
e a região
é definida por
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para
,
e
na região
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. A desigualdade
representa um paraboloide parabólico que abre para cima, enquanto
é um plano inclinado. Queremos a região onde o paraboloide está abaixo do plano. Para entender os limites de integração, precisamos descobrir onde essas duas superfícies se encontram.
Passo 3
Vamos encontrar a interseção das duas superfícies igualando
. Podemos rearranjar isso para
, que é a equação de um círculo. Completando o quadrado para
:
Esse é um círculo de raio 1 centrado em
no plano
.
Passo 4
Agora, para definir os limites de integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a região tem simetria circular. Nas coordenadas cilíndricas, temos
,
e
. A equação do círculo em coordenadas cilíndricas fica:
Simplificando:
Então,
ou
.
Passo 5
Determinar os limites para
. Como
precisa ser positivo,
, então
varia de
a
.
Os limites para
vão de 0 a
.
Passo 6
Agora, vamos definir os limites para
. Como
varia de
até
, em coordenadas cilíndricas isso se torna:
Passo 7
Escrevendo a integral tripla em coordenadas cilíndricas, lembrando que o elemento de volume
:
Passo 8
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 9
Expandindo a expressão dentro da integral:
Vamos integrar em
:
Então, a integral se torna:
Passo 10
Vamos integrar em
. Primeiro, observe que a função
é ímpar em relação a
, então sua integral de
a
é zero. Assim, a integral simplifica para:
Usando a fórmula para
, temos:
Resposta
O valor da integral tripla é
.