Calcule as seguintes integrais por mudança de variáveis onde é dado por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando mudança de variáveis. O enunciado pede para calcular , onde a região é definida por , e . Vamos precisar entender integrais múltiplas e como aplicar a técnica de mudança de variáveis para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . As desigualdades nos dizem os limites para , e . Para facilitar, vamos pensar em como varia em função de , e que varia independentemente de e .
Passo 3
Vamos fazer uma mudança de variáveis para simplificar os limites. Vamos definir novas variáveis , e de forma que:
Essa escolha vai transformar os limites de e para algo mais simples.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o determinante Jacobiano dessa transformação. As derivadas parciais são:
Então, o determinante Jacobiano é 1.
Passo 5
Com a mudança de variáveis, os limites ficam mais simples:
0 <= u <= 1, 0 <= v <= 4, 0 <= w <= 3
Isso porque varia de 0 a 1, de 0 a 4 e de 0 a 3.
Passo 6
Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando em termos de 2x - y2 + z3 = 2(u + v2) - v2 + w3 = 2u + v - v2 + w3 = 2u2 + w3 = u + w3 , e :
Então, a função ficou mais simples: .
Passo 7
Agora, vamos escrever a integral com as novas variáveis e os novos limites:
integral triplaR ( u + w3 ) du, dv, dw
Como o Jacobiano é 1, não precisamos multiplicar o integrando por nada.
Passo 8
Vamos separar a integral em duas partes:
integral0^4 integral0^1 integral0^3 u , dw, du, dv + integral0^4 integral0^1 integral0^3 w3 , dw, du, dv
Passo 9
Primeira integral:
integral0^4 integral0^1 [ integral0^3 u , dw ] du, dv = integral0^4 integral0^1 u cdot 3 , du, dv = 3 integral0^4 integral0^1 u , du, dv
Integrando em 3 integral0^4 [ u^22 ]0^1 dv = 3 integral0^4 12 , dv = 32 cdot 4 = 6 :
Passo 10
Segunda integral:
integral0^4 integral0^1 [ integral0^3 w3 , dw ] du, dv = integral0^4 integral0^1 [ w^26 ]0^3 du, dv = integral0^4 integral0^1 96 , du, dv = 32 integral0^4 integral0^1 du, dv
Integrando em 32 integral0^4 1 , dv = 32 cdot 4 = 6 :