Calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que pede para trocarmos a ordem de integração. A integral dada é:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente com a troca da ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar os limites de integração e aplicar técnicas de substituição para integrar funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Originalmente, temos
variando de 0 a 1, e para cada
,
varia de
até 3. Para trocar a ordem, precisamos expressar
em termos de
.
Então, vamos encontrar os novos limites:
-
varia de 0 a 3. - Para cada
, varia de 0 até (pois ).
Isso nos dá a integral reescrita:
Passo 3
Agora, vamos integrar em relação a
primeiro. Note que
não depende de
, então a integral interna fica simples:
Passo 4
Substituindo essa expressão na integral externa, temos:
Agora, vamos simplificar a constante:
Passo 5
Para resolver essa integral, usamos uma substituição simples. Vamos definir
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, integramos
em relação a
:
Resposta
A integral original é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido dado. Abaixo do paraboloide
e acima da região delimitada por
e
Utilize coordenadas esféricas. Encontre o volume da parte da bola
que está entre os cones
e
.
Utilize coordenadas polares para detrminar o volume do sólido dado. Delimitado pelo hiperboloide
e pelo plano
Utilize coordenadas polares para detrminar o volume do sólido dado. Limitada pelos paraboloides