Calcule a integral trocando a ordem de integração. integral0^1 integral3 y^3 e^x^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que pede para trocarmos a ordem de integração. A integral dada é:
integral0^1 integral3 y^3 e^x^2 , dx , dy
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente com a troca da ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar os limites de integração e aplicar técnicas de substituição para integrar funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Originalmente, temos integral0^3 integral0^x3 e^x^2 , dy , dx variando de 0 a 1, e para cada , varia de até 3. Para trocar a ordem, precisamos expressar em termos de .
Então, vamos encontrar os novos limites:
  • varia de 0 a 3.
  • Para cada , varia de 0 até (pois ).
Isso nos dá a integral reescrita:

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a integral0^x3 e^x^2 , dy = e^x^2 cdot ( x3 - 0 ) = x3 e^x^2 primeiro. Note que não depende de , então a integral interna fica simples:

Passo 4

Substituindo essa expressão na integral externa, temos:
integral0^3 x3 e^x^2 , dx
Agora, vamos simplificar a constante:
13 integral0^3 x e^x^2 , dx

Passo 5

Para resolver essa integral, usamos uma substituição simples. Vamos definir 13 cdot 12 integral0^9 e^u , du = 16 integral0^9 e^u , du , então , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, integramos 16 [ e^u ]0^9 = 16 (e^9 - e^0) = 16 (e^9 - 1) em relação a :

Resposta

A integral original é igual a .

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