Utilize coordenadas polares para detrminar o volume do sólido dado. Limitada pelos paraboloides z = 3 x^2 + 3 y^2 e z = 4 - x^2 - y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o volume de um sólido que está limitado por dois paraboloides: e . Vamos usar coordenadas polares para facilitar a resolução. Basicamente, vamos precisar entender como transformar essas equações para coordenadas polares e como montar a integral para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde esses dois paraboloides se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Vamos simplificar:
Então, a interseção ocorre quando . Isso significa que em coordenadas polares, onde , essa interseção acontece quando .

Passo 3

Agora, vamos expressar as equações dos paraboloides em coordenadas polares. Lembrando que e , temos:
Para :
Para :

Passo 4

O volume que queremos calcular está entre os dois paraboloides, do até (onde eles se interceptam). Em coordenadas polares, o elemento de área é . Então, a integral para o volume fica:
Simplificando a diferença dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Calculando as integrais separadamente:
Subtraindo:

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Utilize coordenadas polares para detrminar o volume do sólido dado. Delimitado pelo hiperboloide -x^2 - y^2 + z^2 = 1 e pelo plano z = 2
Calcule a integral trocando a ordem de integração. integral0^1 integral3 y^3 e^x^2 d x d y
Calcule a integral tripla. integral triplaE 2 x d V, onde E=(x, y, z) mid 0 <= y <= 2,0 <= x <= raiz4-y^2, 0 <= z <= y
Use a integral tripla para determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 2 x + y + z = 4.