Utilize coordenadas polares para detrminar o volume do sólido dado. Limitada pelos paraboloides
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o volume de um sólido que está limitado por dois paraboloides:
e
. Vamos usar coordenadas polares para facilitar a resolução. Basicamente, vamos precisar entender como transformar essas equações para coordenadas polares e como montar a integral para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde esses dois paraboloides se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Vamos simplificar:
Então, a interseção ocorre quando
. Isso significa que em coordenadas polares, onde
, essa interseção acontece quando
.
Passo 3
Agora, vamos expressar as equações dos paraboloides em coordenadas polares. Lembrando que
e
, temos:
Para
:
Para
:
Passo 4
O volume que queremos calcular está entre os dois paraboloides, do
até
(onde eles se interceptam). Em coordenadas polares, o elemento de área é
. Então, a integral para o volume fica:
Simplificando a diferença dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Calculando as integrais separadamente:
Subtraindo:
Passo 6
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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e pelo plano
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Calcule a integral tripla.
, onde
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.