Determine o volume do sólido dado. Abaixo do paraboloide z = x^2 + y^2 e acima da região delimitada por y = x^2 e x = y^2

Passo 1

Então, temos que encontrar o volume de um sólido que está abaixo do paraboloide e acima da região delimitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais duplas para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região onde vamos integrar. As curvas e se interceptam nos pontos onde . Resolvendo , encontramos que as interseções são em e . Então, a região de integração vai de a .

Passo 3

Agora, para cada entre 0 e 1, varia de a . Isso porque pode ser reescrito como .

Passo 4

Vamos montar a integral dupla para o volume:
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Simplificando:
Então:

Passo 5

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Somando todos os resultados:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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