Utilize coordenadas esféricas. Encontre o volume da parte da bola
que está entre os cones
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos usando coordenadas esféricas para encontrar o volume da parte de uma bola de raio
que está entre dois cones com ângulos
e
. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula do volume em coordenadas esféricas e saber como definir os limites de integração para esses cones.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, um elemento de volume é dado por:
Aqui,
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e
é o ângulo azimutal no plano xy. Vamos usar essa fórmula para montar nossa integral tripla.
Passo 3
Vamos definir os limites de integração:
- Para
: Como estamos dentro de uma bola de raio , varia de até . - Para
: Os cones definem que varia de até . - Para
: Como não há restrição no ângulo azimutal, varia de até .
Passo 4
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume:
Passo 5
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral em
:
Sabendo que
e
, temos:
Passo 7
Por fim, resolvemos a integral em
:
Resposta
Multiplicando todos os resultados, o volume procurado é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral trocando a ordem de integração.
Determine o volume do sólido dado. Abaixo da superfície
e acima do triangulo com vértices
e
Determine o volume do sólido dado. Abaixo do paraboloide
e acima da região delimitada por
e
Calcule a integral trocando a ordem de integração.