Utilize coordenadas esféricas. Encontre o volume da parte da bola rho <= a que está entre os cones phi = pi / 6 e phi = pi / 3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos usando coordenadas esféricas para encontrar o volume da parte de uma bola de raio a que está entre dois cones com ângulos e . Para resolver isso, vamos precisar da fórmula do volume em coordenadas esféricas e saber como definir os limites de integração para esses cones.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, um elemento de volume é dado por:
Aqui, rho é a distância do ponto à origem, phi é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e theta é o ângulo azimutal no plano xy. Vamos usar essa fórmula para montar nossa integral tripla.

Passo 3

Vamos definir os limites de integração:
  • Para rho: Como estamos dentro de uma bola de raio a, rho varia de 0 até a.
  • Para phi: Os cones definem que phi varia de pi/6 até pi / 3.
  • Para theta: Como não há restrição no ângulo azimutal, theta varia de 0 até .

Passo 4

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume:

Passo 5

Vamos resolver a integral em rho primeiro:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral em phi:
Sabendo que e , temos:

Passo 7

Por fim, resolvemos a integral em theta:

Resposta

Multiplicando todos os resultados, o volume procurado é:

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