Calcule a integral usando a integração por partes: integral t^2 sen(2 t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral integral t^2 sen(2 t) , dt usando integração por partes. Isso significa que vamos precisar lembrar como funciona a integração por partes e escolher bem quais partes da função vamos separar para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos usar na fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, vamos escolher:
u = t^2 Rightarrow du = 2t , dt
dv = sen(2 t) , dt Rightarrow v = -12 cos(2t)
A gente escolhe u = t^2 porque ao derivar facilita, e dv = sen(2t) , dt porque é fácil de integrar.

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula:
integral t^2 sen(2 t) , dt = u , v - integral v , du
Substituindo:
= t^2 (-12 cos(2t)) - integral (-12 cos(2t)) cdot 2t , dt
Simplificando:
= -t^22 cos(2t) + integral t cos(2t) , dt

Passo 4

Aí, temos uma nova integral integral t cos(2t) , dt que também vai precisar de integração por partes. Vamos repetir o processo:
u = t Rightarrow du = dt
dv = cos(2t) , dt Rightarrow v = 12 sen(2t)

Passo 5

Aplicando a fórmula de novo:
integral t cos(2t) , dt = u , v - integral v , du
Substituindo:
= t cdot 12 sen(2t) - integral 12 sen(2t) , dt
Simplificando:
= t2 sen(2t) - 12 (-12 cos(2t))
= t2 sen(2t) + 14 cos(2t)

Passo 6

Voltando à integral original, agora substituímos o resultado que achamos:
integral t^2 sen(2 t) , dt = -t^22 cos(2t) + (t2 sen(2t) + 14 cos(2t)) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Portanto, a integral é:
integral t^2 sen(2 t) , dt = -t^22 cos(2t) + t2 sen(2t) + 14 cos(2t) + C

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