Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: integral sen(2 y) cos (2 y) d y

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos calcular a integral integral sin(2y) cos(2y) , dy usando o método de substituição. Isso envolve identificar uma parte da função para substituir por uma variável mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição adequada. Observando a função sin(2y) cos(2y), percebemos que podemos definir u = sin(2y). Isso simplifica uma das partes da integral.

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de u em relação a y para encontrar du. Temos:
dudy = 2 cos(2y)
Então, isolando dy:
dy = du2 cos(2y)

Passo 4

Substituímos u e dy na integral original:
integral sin(2y) cos(2y) , dy = integral u cdot cos(2y) cdot du2 cos(2y) = integral u2 , du
Aqui, cos(2y) se cancela, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, integramos em termos de u:
integral u2 , du = 12 cdot u^22 + C = u^24 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u de volta para a variável original y:
u^24 + C = sin^2(2y)4 + C

Resposta

A integral calculada é sin^2(2y)4 + C.

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