Integrando por partes, prove que L{cos(at)} = s / (s^2 + k^2), a em R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar, usando integração por partes, que a transformada de Laplace de é . Para isso, vamos usar o conceito de transformada de Laplace, que ajuda a transformar funções do tempo para o domínio de frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace. Para uma função , a transformada de Laplace é dada por:
Aqui, é uma variável complexa que geralmente representa a frequência.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para . Então, temos:
Nossa meta é resolver essa integral e mostrar que ela é igual a .

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos identificar as partes e :
  • Seja . Então, a derivada .
  • Seja . Integrando, obtemos .

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo , , e :
Simplificando:

Passo 6

Vamos avaliar o termo :
  • Quando , se , portanto o termo tende a 0.
  • Quando , temos , então o termo é .
Portanto:

Passo 7

Agora, temos:
Mas a integral é conhecida e sua transformada de Laplace é . Então substituindo:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:

Resposta

Assim, provamos que:

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