Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar, usando integração por partes, que a transformada de Laplace de é . Para isso, vamos usar o conceito de transformada de Laplace, que ajuda a transformar funções do tempo para o domínio de frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Laplace. Para uma função , a transformada de Laplace é dada por:
Aqui, é uma variável complexa que geralmente representa a frequência.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para . Então, temos:
Nossa meta é resolver essa integral e mostrar que ela é igual a .
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos identificar as partes e :
Seja . Então, a derivada .
Seja . Integrando, obtemos .
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo , , e :
Simplificando:
Passo 6
Vamos avaliar o termo :
Quando , se , portanto o termo tende a 0.
Quando , temos , então o termo é .
Portanto:
Passo 7
Agora, temos:
Mas a integral é conhecida e sua transformada de Laplace é . Então substituindo: