Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: integral t^2 e^t^3 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral usando o método de substituição. Isso pertence ao cálculo integral, especificamente à técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver. Vamos precisar escolher uma parte da função para substituir por uma variável nova, geralmente , e então ajustar a integral de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se substituída, poderá simplificar a integral. Observando u = t^3 , vemos que o expoente dentro da função exponencial é uma boa candidata para substituição. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudt = 3t^2 em relação a du = 3t^2 , dt para poder substituir na integral. Diferenciando em relação a , temos:
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar t^2 , dt = du3 em termos de . Dividindo ambos os lados da equação por 3, obtemos:

Passo 5

Agora, substituímos integral t^2 e^t^3 , dt = integral e^u cdot du3 = 13 integral e^u , du e na integral original:

Passo 6

A integral 13 integral e^u , du = 13 e^u + C é bem direta. A integral de em relação a é simplesmente , então:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, voltamos à variável original 13 e^u + C = 13 e^t^3 + C substituindo de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a .

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