Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral
usando o método de substituição. Isso pertence ao cálculo integral, especificamente à técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver. Vamos precisar escolher uma parte da função para substituir por uma variável nova, geralmente
, e então ajustar a integral de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se substituída, poderá simplificar a integral. Observando
, vemos que o expoente
dentro da função exponencial é uma boa candidata para substituição. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para poder substituir
na integral. Diferenciando
em relação a
, temos:
Isso significa que:
Passo 4
Queremos expressar
em termos de
. Dividindo ambos os lados da equação por 3, obtemos:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 6
A integral
é bem direta. A integral de
em relação a
é simplesmente
, então:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Por fim, voltamos à variável original
substituindo
de volta na expressão:
Resposta
A integral
é igual a
.