Calcule a integral, utilizando integrais trigonométricas
d) integral x cdot sen^3(x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A gente vai usar técnicas de integração que envolvem substituição e propriedades das funções trigonométricas. Precisamos entender como simplificar a função seno elevada ao cubo e também como lidar com o termo integral x cdot sen^3(x^2) dx que está multiplicando.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar u = x^2. Assim, a derivada de u em relação a x é dudx = 2x, o que significa que x dx = du2. Isso vai ajudar a transformar a integral em termos de u.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em termos de u. Substituindo na integral original, temos:
Ou seja, nossa integral agora fica:

Passo 4

Para resolver , vamos usar uma identidade trigonométrica que facilita a integração de potências ímpares de seno. A identidade que vamos usar é:
Isso nos permite separar a integral em duas partes mais simples.

Passo 5

Substituindo a identidade na integral, temos:
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 6

A primeira integral, , é direta:
Onde integral sen(u) du é a constante de integração.

Passo 7

Para a segunda integral, , vamos fazer outra substituição. Vamos deixar integral sen(u) cos^2(u) du, então ou . Substituindo, temos:

Passo 8

Agora, juntando as duas partes, a integral fica:
12 ( -cos(u) - ( -cos^3(u)3 ) ) + C = 12 ( -cos(u) + cos^3(u)3 ) + C
Simplificando:
-12 cos(u) + 16 cos^3(u) + C

Passo 9

Agora, vamos voltar à variável original x. Lembrando que u = x^2, então:
-12 cos(x^2) + 16 cos^3(x^2) + C

Resposta

A integral é igual a -12 cos(x^2) + 16 cos^3(x^2) + C, onde C é a constante de integração.

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