Calcule a integral, utilizando integrais trigonométricas
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . A gente vai usar técnicas de integração que envolvem substituição e propriedades das funções trigonométricas. Precisamos entender como simplificar a função seno elevada ao cubo e também como lidar com o termo
que está multiplicando.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar
. Assim, a derivada de
em relação a
é
, o que significa que
. Isso vai ajudar a transformar a integral em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral em termos de
. Substituindo na integral original, temos:
Ou seja, nossa integral agora fica:
Passo 4
Para resolver , vamos usar uma identidade trigonométrica que facilita a integração de potências ímpares de seno. A identidade que vamos usar é:
Isso nos permite separar a integral em duas partes mais simples.
Passo 5
Substituindo a identidade na integral, temos:
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 6
A primeira integral, , é direta:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para a segunda integral, , vamos fazer outra substituição. Vamos deixar
, então ou . Substituindo, temos:
Passo 8
Agora, juntando as duas partes, a integral fica:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos voltar à variável original
. Lembrando que
, então:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.