Calcule a integral

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse tipo de integral está relacionado ao conteúdo de integração de funções racionais, ou seja, funções onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar fazer uma divisão algébrica e depois usar logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, observe que o grau do polinômio no numerador ( ) é igual ao grau do polinômio no denominador ( ). Quando isso acontece, a gente pode fazer uma divisão algébrica para simplificar a fração. Vamos dividir por :
Isso porque .

Passo 3

Agora, nossa integral fica mais simples:
Vamos separar essa integral em duas partes:

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral, que é bem direta:
Aqui, é uma constante de integração que vamos combinar com a próxima parte.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral:
Primeiro, podemos fatorar o denominador:
Reconhecemos que essa expressão se encaixa na fórmula de integração de , cuja antiderivada é:
No nosso caso, .

Passo 6

Aplicando a fórmula, temos:
Simplificando os coeficientes:

Passo 7

Agora, juntando as duas partes da integral:
Onde é a constante geral de integração.

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

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x)
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