Calcule a integral integral x^29-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse tipo de integral está relacionado ao conteúdo de integração de funções racionais, ou seja, funções onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar fazer uma divisão algébrica e depois usar logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, observe que o grau do polinômio no numerador ( x^29 - x^2 = -1 + 99 - x^2 ) é igual ao grau do polinômio no denominador ( ). Quando isso acontece, a gente pode fazer uma divisão algébrica para simplificar a fração. Vamos dividir por :
Isso porque .

Passo 3

Agora, nossa integral fica mais simples:
integral x^29 - x^2 , dx = integral ( -1 + 99 - x^2 ) , dx
Vamos separar essa integral em duas partes:
integral -1 , dx + integral 99 - x^2 , dx

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral, que é bem direta:
integral -1 , dx = -x + C1
Aqui, é uma constante de integração que vamos combinar com a próxima parte.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral:
integral 99 - x^2 , dx
Primeiro, podemos fatorar o denominador:
9 - x^2 = (3)^2 - x^2
Reconhecemos que essa expressão se encaixa na fórmula de integração de 12a ln | a + xa - x | + C , cuja antiderivada é:
No nosso caso, .

Passo 6

Aplicando a fórmula, temos:
integral 99 - x^2 , dx = 9 cdot 12 cdot 3 ln | 3 + x3 - x | + C2
Simplificando os coeficientes:
= 96 ln | 3 + x3 - x | + C2
= 32 ln | 3 + x3 - x | + C2

Passo 7

Agora, juntando as duas partes da integral:
-x + 32 ln | 3 + x3 - x | + C
Onde é a constante geral de integração.

Resposta

A integral -x + 32 ln | 3 + x3 - x | + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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