x) f(x) = ln(raiz(3*x^2 + 1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função e provavelmente a gente precisa encontrar a derivada dessa função. Então, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que a raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de . Então, podemos reescrever a função assim:

Passo 3

Agora, usamos uma propriedade dos logaritmos que diz que . Aplicando isso na nossa função:

Passo 4

Pronto, agora a função está mais simples para derivar. Vamos derivar em relação a . A derivada de é , onde é uma função de . Neste caso, .

Passo 5

Vamos encontrar , que é a derivada de :

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia:

Passo 7

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada da função é .

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