Calcule integral x^3+2x^2-x-6 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^3+2x^2-x-6 , dx. Esse exercício está na área de cálculo, mais especificamente em integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar fazer uma divisão de polinômios e depois usar uma técnica chamada frações parciais.

Passo 2

Primeiro, percebemos que o grau do numerador ( x^3+2) é maior que o do denominador ( x^2-x-6). Isso significa que precisamos fazer uma divisão de polinômios antes de integrar.

Passo 3

Vamos dividir x^3 + 2 por x^2 - x - 6:
x^3 + 2x^2 - x - 6 = x + x + 2x^2 - x - 6
Então, agora temos:
integral x^3+2x^2-x-6 , dx = integral x , dx + integral x + 2x^2-x-6 , dx

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral integral x , dx facilmente:
integral x , dx = 12x^2

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda integral integral x + 2x^2-x-6 , dx. Primeiro, fatoramos o denominador:
x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)

Passo 6

Com o denominador fatorado, usamos frações parciais para quebrar a fração:
x + 2(x - 3)(x + 2) = Ax - 3 + Bx + 2
Multiplicando ambos os lados por (x - 3)(x + 2), temos:
x + 2 = A(x + 2) + B(x - 3)

Passo 7

Agora, escolhemos valores de x para encontrar A e B.
Se x = 3:
3 + 2 = A(3 + 2) + B(0) Rightarrow 5 = 5A Rightarrow A = 1
Se x = -2:
-2 + 2 = A(0) + B(-2 - 3) Rightarrow 0 = -5B Rightarrow B = 0

Passo 8

Com A = 1 e B = 0, a fração fica:
x + 2(x - 3)(x + 2) = 1x - 3
Então, a integral se torna:
integral 1x - 3 , dx

Passo 9

Integrando, obtemos:
integral 1x - 3 , dx = ln|x - 3| + C

Resposta

Juntando tudo, a integral original é:
integral x^3+2x^2-x-6 , dx = 12x^2 + ln|x - 3| + C

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