Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com uma função racional, que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar divisão polinomial para simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a divisão polinomial para simplificar a fração. Queremos dividir o polinômio do numerador,
, pelo denominador,
.
Sabemos que
. Então, vamos dividir
por
.
Passo 3
Vamos organizar a divisão:
Dividindo o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador:
Multiplicamos
por todo o divisor:
Subtraímos esse resultado do numerador:
Passo 4
Agora, repetimos o processo com o novo polinômio resultante,
.
Dividindo
por
:
Multiplicamos
pelo divisor:
Subtraímos desse resultado:
Passo 5
O resto da divisão é
, que tem grau menor que o denominador original. Então, podemos escrever a fração original como:
Isso simplifica nossa integral para:
Passo 6
Agora vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos resolver cada um deles.
Passo 7
Integrando o primeiro termo:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 8
Integrando o segundo termo:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Agora, para o terceiro termo, vamos simplificar a integral:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, ent��o
e
.
Substituindo na integral:
Passo 10
Agora integramos cada termo:
Substituindo
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 11
Agora, juntando todas as partes integradas:
Onde
é a constante geral de integração.
Resposta
A integral é igual a:
Exercícios relacionados
(f)
.
É verdadeiro ou falso?
Para todo temos
.
Para todo
(f)
É verdadeiro ou falso?
Se está definido e converge para
, então
para
.
Se