Calcule: integral x^3+2(x-1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular:
integral x^3+2(x-1)^2 , dx
Aqui, estamos lidando com uma função racional, que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar divisão polinomial para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão polinomial para simplificar a fração. Queremos dividir o polinômio do numerador, , pelo denominador, .
Sabemos que . Então, vamos dividir por .

Passo 3

Vamos organizar a divisão:
r|l x^2 - 2x + 1 & x^3 + 0x^2 + 0x + 2
Dividindo o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador:
r|l x^2 - 2x + 1 & x^3 + 0x^2 + 0x + 2 & -(x^3 - 2x^2 + x) hline & 2x^2 - x + 2
Multiplicamos por todo o divisor:
Subtraímos esse resultado do numerador:

Passo 4

Agora, repetimos o processo com o novo polinômio resultante, r|l x^2 - 2x + 1 & 2x^2 - x + 2 & -(2x^2 - 4x + 2) hline & 3x .
Dividindo por :
Multiplicamos pelo divisor:
Subtraímos desse resultado:

Passo 5

O resto da divisão é x^3+2(x-1)^2 = x + 2 + 3x(x-1)^2 , que tem grau menor que o denominador original. Então, podemos escrever a fração original como:
integral ( x + 2 + 3x(x-1)^2 ) dx
Isso simplifica nossa integral para:

Passo 6

Agora vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos resolver cada um deles.

Passo 7

Integrando o primeiro termo:
integral x , dx = 12x^2 + C1
Onde é uma constante de integração.

Passo 8

Integrando o segundo termo:
integral 2 , dx = 2x + C2
Onde é outra constante de integração.

Passo 9

Agora, para o terceiro termo, vamos simplificar a integral:
integral 3x(x-1)^2 , dx
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja integral 3(u + 1)u^2 , du = 3 integral ( uu^2 + 1u^2 ) du = 3 integral ( 1u + u^-2 ) du , ent��o e .
Substituindo na integral:

Passo 10

Agora integramos cada termo:
3 ( integral 1u , du + integral u^-2 , du ) = 3 ( ln|u| - u^-1 ) + C3
Substituindo 3 ln|x - 1| - 3x - 1 + C3 :
Onde é outra constante de integração.

Passo 11

Agora, juntando todas as partes integradas:
12x^2 + 2x + 3 ln|x - 1| - 3x - 1 + C
Onde é a constante geral de integração.

Resposta

A integral é igual a:
12x^2 + 2x + 3 ln|x - 1| - 3x - 1 + C

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